7.2 离散型随机变量及其分布列-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．2　离散型随机变量及其分布列 [学习目标]　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．　2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．　3.理解两点分布． 知识点一　离散型随机变量 1．某人在射击训练中，射击一次，命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ 2．篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ 3．掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ 4．抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数字来表示随机试验的结果呢？ 提示：1.试验结果：命中1环，命中2环，…，命中10环，用数值表示试验结果：1，2，…，10. 2．投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分． 3．共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． 4．掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. [微提醒]　离散型随机变量的特征 (1)可以用数值表示； 学生用书↓第35页 (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； (3)试验结果能一一列出． 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为500±2 mL． 解析：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． (4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不能一一列举，不是离散型随机变量． 方法技巧 判断离散型随机变量的方法 1．明确随机试验的所有可能结果． 2．将随机试验的结果数量化． 3．确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．　　 即时练1.指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由． (1)白炽灯的寿命； (2)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位； (3)一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数． 解析：(1)不是离散型随机变量．因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出． (2)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出． (3)是离散型随机变量．从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． 知识点二　离散型随机变量的分布列 掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：列成表格的形式： X 1 2 3 4 5 6 P 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． [微提醒]　离散型随机变量的分布列的三种表示 (1)定义表示：P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. (2)表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 学生用书↓第36页 (3)图形表示： 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． 解析：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况． (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，则P(A)＝＝，