7.1 7.1.2 全概率公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

7．1.2　全概率公式 [学习目标]　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．　2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率．　*3.了解贝叶斯公式，并会简单应用． 知识点一　全概率公式 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 提示：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示． 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2， 利用概率的加法公式和乘法公式， 得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2)＝P(R1R2)＋P(B1R2)＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1) ＝·＋·＝. 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai) 我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一. [微提醒]　使用全概率公式计算目标事件B的概率，必须是找到样本空间Ω的一个完备事件组A1，A2，…，An，而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B产生的几个原因.全概率公式相当于将产生B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在.,直观解释为：B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝ P(BAi)＝＝ P(Ai) P(B|Ai) 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.任取一个零件，计算它是次品的概率． 解析：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥．根据题意得 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45， P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05. 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5. 学生用书↓第32页 [变式探究] (变条件、变设问)两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍．现任取一零件，求合格品的概率． 解析：令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2.此时，全部的零件构成样本空间Ω，A1，A2构成Ω的一个划分．由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95. 方法技巧 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下： (1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai； (2)命名目标的概率事件为事件B； (3)代入全概率公式求解．　　 即时练1.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 解析：用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%． 知识点二　*贝叶斯公式 贝叶斯公式和全概率公式有什么联系？ 提示：贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式是互逆应用的，当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式． 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2