6.3 6.3.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

6.3.2　二项式系数的性质 　 第 六 章 6.3　二项式定理 学习目标 1．理解二项式系数的性质并灵活运用． 2．掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．掌握二项展开式中系数最大(小)问题． 4．能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　二项式系数的性质 内 容 索 引 知识点　二项式系数的性质 索引 问题导思 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？ 新知形成 增大 减小 2n 微提醒 微提醒 例1 (1－x)2n－1的展开式中，二项式系数最大的项是 A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 √ 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论 1．当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． 2．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 方法技巧 索引 即时练1. 的展开式中，有且仅有第6项系数最大，则其常数项为 A．120 B．252 C．210 D．45 √ 综　合　应　用 索引 例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. 应用一　二项展开式的系数和问题 (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； 令x＝－1，得(－3)5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C (－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)a1＋a3＋a5. 由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝(－3)5， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121. 变式探究 (变设问)在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； 因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 所以a0＋a2＋a4＝ ＝122. (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； 因为a0是(2x－1)5展开式中x5的系数， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5， 所以两边求导数，得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 二项展开式中系数和的求法 1．对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 方法技巧 3．赋值法 方法技巧 即时练2.若(x－3)2(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则log2(a1＋a3＋…＋a9)＝ A．4 B．7 C．8 D．9 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＋a10＝210，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝0，故a1＋a3＋…＋a9＝29， 所以log2(a1＋a3＋…＋a9)＝9.故选D． √ 因为 ，所以n＝10，即(3x－4)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10.令x＝1可得(3－4)10＝1＝a0，令x＝2可得(6－4)10＝210＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，所以a1＋a2＋…＋a10＝210－1＝1 023. 即时练3.已知 ，设(3x－4)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则a1＋a2＋…＋an＝________． 1 023 例3 已知f(x)＝( ＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项． 令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992， 所以(2n)2－2n－992＝0， 所以(2n＋31)(2n－32)＝0， 所以2n＝－31(舍去)或