专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率 模型1、与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 例2．（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，C，D是上两点，C是的中点，过点C作的垂线，分别交与的延长线于点E和点F． (1)求证：是的切线；(2)若， ，求的长．    例3．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形为平行四边形．(2)若为中点，，求半圆的半径． 例4．（2023·北京昌平·统考二模）如图，是直径，是上一点，过点作直线，使． (1)求证：是的切线；(2)点是弧中点，连接并延长，分别交于点，若，，求线段的长． 模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型） 图1 图2 图3 1）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 例1．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，是半圆O的直径，点D是弧的中点，若．则等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，，．(1)求证：；(2)求线段的长；(3)延长至，连接，使的面积等于，求的度数．    例3．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长． 例4．（2023·广东东莞·统考三模）如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G． (1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，，求的值．    模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以上作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 例1．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（　　）    A． B． C． D．12 例3．（2023·天津河西·校考三模）如图，为的直径，点，为直径同侧圆上的点，且点为的中点，过点作于点，延长，交于点，与交于点．   (1)如图①，若点为的中点，求的度数；(2)如图②，若，，求的半径． 例4．（2023·江苏·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点C，D是的中点，连接、分别交于点E、F．  (1)求证：；(2)若，求的面积． 模型4、与托勒密定理相关的中点模型 图1 图2 1）同侧型: 条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD= 2AD×cosθ； 特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD 2）当三角形为等腰