第4章 实数（知识梳理+热考题型）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第4章 实数 本章知识综合运用 内容预览 基本概念 ●●1、平方根的概念：如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根． ◆平方根的表示方法：正数a的两个平方根记作“±”，读作“正负根号a”. ◆开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方. 开平方与平方互为逆运算. ●●2、算术平方根的概念：正数a有两个平方根±，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根. ◆算术平方根与平方根的联系与区别： ●●3、立方根的概念：一般地，如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根． ◆立方根的表示方法：实数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.注意根指数3不能省略. ◆开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 开立方与立方互为逆运算. ◆立方根与平方根的区别与联系： ●●4、无理数的概念：无限不循环小数. ◆无理数的常见形式： （1）根号型：如、等. （2）含π型: 如π+1、. （3）构造型:1.01001000100001 ⋯ ●●5、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ◆实数的分类： 1.按概念: 2.按性质（正负）: ●●6、近似数的概念：与实际情况完全符合的数叫做准确数.接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数. ◆精确度：近似数与准确值的接近程度，用精确度表示. 常用四舍五入法对近似数进行精确. 用“四舍五入法”取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． ◆近似数的常见表达方式： （1）用数位表示：如精确到万位； （2）用小数表示：如精确到0.1； （3）对带有单位的数可用单位表示：如精确到米. 基本性质 ●●1、平方根的性质 （1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数. （2）0的平方根是0. （3）负数没有平方根. ●●2、立方根的性质 （1）正数的立方根是正数. （2）0的立方根是0. （3）负数的立方根是负数. ●●3、实数的性质 1.实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样. 2.实数与数轴上的点是一一对应关系. 3.有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 4.有理数的运算法则、运算律，在实数范围内仍然适用. 算术平方根、平方根与立方根的概念 题型一 【例题1】(2023·江苏省无锡市)实数的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：实数的算术平方根是， 故选：． 【变式1-1】 (2023·陕西省西安市·模拟题)若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是(    ) A. 是的算术平方根 B. 是的平方根 C. 是的算术平方根 D. 是的平方根 【答案】C  【解析】解：方程的两根为和， 和是的两个平方根，且互为相反数， ， 是的算术平方根， 故选：． 【变式1-2】(2023·四川省广安市)的平方根是______ ． 【解析】解：，的平方根为， 的平方根为． 故答案为：． 【变式1-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？ 【解析】解：设另一块木板的边长为米，则： ， 即：， 解得：，（舍去）， ∴另一块木板的边长为1.2米， 答：另一块木板的边长为1.2米． 【例题2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）的立方根是 ． 【解析】解：，8的立方根是2， 故答案为：2． 【变式2-1】（2023秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）若，则的值为 ． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 或或或， 解得或或． 故答案为：0；；． 【变式2-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，，= ． 【解析】解：，， 故答案为． 【变式2-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）解方程： (1)； (2)． 【解析】（1）解： ∴ ∴， 解得：或； （2）解： ∴ ∴， 解得：． 【变式2-4】（2023秋·江苏苏州·八年级阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【解析】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 【变式2-5】（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【解析】（1）解：由题意得，所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 算术平方根的非负性 题型二 【例题】(2023·四川省·模拟题)若，则的值为  (    )