函数基础知识梳理-2024届高三数学一轮复习

函数基础知识梳理 一、函数的概念与表示 【知识清单】 1．函数的概念：设A，B是两个 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，使，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x)，x∈A. 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 . 特别地,如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 . 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【必备知识】 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为 . (6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为 ． (7)y＝tan x的定义域为 . 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为 ；当a＜0时，值域为 . (3)y＝(k≠0)的值域是 ． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是 ．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是 . 补充(1)一次分式函数的值域 ； (2)函数的值域为 ；(3)函数的值域为 ； (4)函数的值域为； 函数的值域为. 二、函数的基本性质 【知识清单】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象是 的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． ★函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。 注意：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有 ； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有 ； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3．奇偶性的定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有 ，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有 ，则称y=f(x)为奇函数。 ★奇偶性的判断步骤： ① ② 4.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2) 周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；周期函数的定义域是无界的。 【必备知识】 1．对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为 ；减区间为 ，且对勾函数为奇函数． 2．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调 ； ②＜0(或(x1－x2)[