平面向量知识梳清单-2024届高三数学一轮复习

平面向量知识梳理 一、相关概念 1. 向量与数量：我们把 叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为或（起点A，终点B）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为或. 规定 叫做零向量，记为 ，零向量的方向是任意的 模等于1的向量叫做单位向量；与方向相同的单位向量是 ，与方向相反的单位向量是 。 2. 平行向量： 叫做平行向量，记作，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫 . 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作. 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为，规定零向量的相反向量仍是零向量. 二、向量的加法、减法与数乘运算 1. 向量加减法：向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则. 如图所示，已知非零向量，在平面内任取一点O，作，则向量. 若作，则向量.（共起点，连终点，指被减） 向量的加减法满足：交换律；结合律. 向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 与分别是构成平行四边形的两条对角线，注意其几何意义。 ※注意两类平行四边形在向量中的应用：①(菱形两条对角线互相垂直)； ②(矩形两条对角线相等)； ※平行四边形性质：四条边的平方和等于两条对角线的平方和，即。 2.向量不等式：对于任意两个向量，有. 3. 向量数乘运算：实数与向量的乘积仍然是一个 ，这种运算称为向量的数乘，记作，并规定：① ；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 数乘运算满足：分配律、；结合律. 对于任意向量，以及任意实数，恒有. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 三、向量共线定理及平面向量基本定理 1.向量共线定理:向量与非零向量共线的条件是存在唯一一个实数，使得，当时，表示与同向；当时，表示与反向；当时，. 2.三点、、共线与共线； ,,三点共线存在实数、使得且. 3.. 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个 向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 四、向量的夹角，数量积及向量的投影 1.向量夹角：对两个非零向量，在平面内任取一点O，作，则叫做向量与夹角. 当与夹角是90°时，与垂直，记作.夹角范围 。 2.平面向量的数量积：，其中是与的夹角， 在的方向上的投影 . 的几何意义：数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 数量积运算满足：交换律；数乘结合律；分配律. 不满足结合率：，因为前面表示与共线的向量，后面表示与共线的向量。 3.在方向上的投影向量为 ,在方向上的投影向量为 . 4.设和都是非零向量，则①． ②当与同向时，；当与反向时，； ③==或= 5.力作功： 一个物体在力的作用下产生位移，那么力所作的功，其中是与的夹角，从而. 6. 夹角与数量积的关系： 设向量，的夹角为，则（1）为锐角但（“锐而不零”） （2）为钝角但（“钝而不平”） 五、平面向量的坐标表示及运算 1.正交分解：依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可分解为不共线的两个向量与，使. 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使得. 即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量的坐标，记作 。 3.平面向量的坐标运算：设，与的夹角为，则 ； （夹角公式） 4.向量共线：设，，其中，若共线，当且仅当存在实数，使 ，即 (内乘等于外乘)。由此可证明平行问题、三点共线等. 设合成向量、共线，则、共线或(系数内乘等于外乘)。 5.向量垂直：对于平面内任意两个非零向量， . 设，，则 . 由此可证明一些垂直问题. 6.分点的坐标：已知点，，点是线段上的一个分点，且，即，由此得到 若，得到线段中点坐标公式. 六．常用结论： 三角形中向量性质： ①过边的中点：； ②为的重心； ③为的垂心； ④为的内心； 所在直线过内心. 学科网（北京）股份有限公司 $$