1.2.2 函数的和差积商求导法则-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1．2.2　函数的和差积商求导法则 [学习目标]　1.能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 知识点一　函数和差积的求导法则 [问题导引1]　前面计算过y＝x2的导数，由导数的定义如何计算出y＝f(x)＝3x2的导数呢？ 提示：　y′＝2x，d→0时， ＝＝6x＋3d→f′(x)＝6x， 发现后面的导数恰好是前者导数的3倍． [问题导引2]　在问题1中F(x)＝cf(x)的导数是不是f′(x)与实数c的乘积呢？ 提示：　是．证明过程见教材． [问题导引3]　已知函数f(x)＝x，g(x)＝ln x，如何求函数Q(x)＝x＋ln x，H(x)＝x－ln x的导数呢？它们和f′(x)，g′(x)有什么关系？ 提示：　f′(x)＝1，g′(x)＝，Q′(x)＝1＋，H′(x)＝1－， Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)，H′(x)＝f′(x)－g′(x)． 1．函数的和差、常数与函数的乘积的求导法则 两个函数f(x)和g(x)的和(或差)的求导法则： [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 常数与函数的乘积的求导法则： [cf(x)]′＝c′f(x)＋cf′(x)＝cf′(x)． 点拨：　导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 函数的和差、常数与函数的乘积的求导法则的推广为：[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)，其中a，b为常数． 2．函数的积的求导法则 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 设F(x)＝f(x)g(x)，则 ＝ ＝＋ ＝f(x＋d)·＋g(x)·. 当d→0时， f(x＋d)→f(x)，→g′(x)，→f′(x)， 所以F′(x)＝f(x)g′(x)＋g(x)f′(x)． 即函数乘积的求导法则为 (f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 点拨：　了解函数乘积的求导法则的推导过程，记熟法则．函数的积的导数可以推广到任意有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． 学生用书第13页 角度一　利用和差、常数与函数的乘积的求导法则求切线方程 求曲线f(x)＝2x3－x2－3x＋1在与直线x＝1相交处的切线方程． 解析：　由基本初等函数的导数公式及运算法则可得f′(x)＝6x2－2x－3. 将x＝1代入得f′(1)＝6－2－3＝1. 所以该曲线在与直线x＝1相交处切线的斜率k＝1. 由f(1)＝－1可知，切线方程为y－(－1)＝x－1， 即y＝x－2. 熟练运用求导法则，通过计算来求切线方程．　　 即时练1.已知曲线C1：y＝ax2上点P处的切线为l1，曲线C2：y＝bx3上点P′(1，b)处的切线为l2，且l1⊥l2，垂足为M(2，2)，求a，b的值及P点坐标． 解析：　设P(t，at2)，∴l1的斜率为k1＝2at， l1的方程为y－at2＝2at(x－t)．又l2的斜率为k2＝3bx2|x＝1＝3b， ∴l2的方程为y－b＝3b(x－1)． ∵l1⊥l2且交点为M(2，2)， ∴∴t＝10，a＝－，b＝，∴P. 角度二　函数乘积的求导法则 求函数f(x)＝x3sin x的导数． 解析：　f′(x)＝(x3sin x)′ ＝(x3)′sin x＋x3(sin x)′ ＝3x2sin x＋x3cos x. 函数乘积的求导法则要注意展开过程，防止出现计算错误．　　 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)． 解析：　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. (2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′ ＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)． (3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. 学生用书第14页 知识点二　函数的倒数与商的求导法则 [问题导引1]　如何求F(x)＝(f(x)≠0)的导数？ 提示：　设F(x)＝(f(x)≠0)，则 ＝ ＝·. 当d→0时，→， →－f′(x)， 所以F′(x)＝－. [问题导引2]　如何求的导数？ 提示：　利用F′(x)＝－和[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)可得， ()′＝. 1．函数的倒数的求导法则 ()