第二章 章末综合提升-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

章末综合提升 素养一　直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．本章核心素养——直观想象，主要涉及以下内容：利用图形判断或证明在空间中直线、平面的位置关系，巧建空间直角坐标系． 题型一　利用空间向量证明线、面位置关系 如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC． 证明：　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A­xyz.设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)． (1)因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M(，0，0)，N(，，)． 所以＝(0，，)，＝(0，0，a)，＝(0，a，0)．所以＝＋. 学生用书第79页 又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD． (2)由(1)知，M(，0，0)，所以＝(b，a，－a)，＝(，0，－a)，＝(0，a，－a)． 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 解得令z1＝b， 则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 即 得令z2＝1，则n2＝(0，1，1)，因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.故平面PMC⊥平面PDC． 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝. (1)求证：PD⊥平面PAB； (2)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解析：　(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD． ∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD． 又PA⊥PD，PA∩AB＝A，且PA，PB⊂平面PAB， ∴PD⊥平面PAB． (2)取AD的中点O，连接CO，PO. ∵PA＝PD， ∴PO⊥AD． 又∵PO⊂平面PAD， 平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO， 又∵AC＝CD，∴CO⊥AD． 以O为原点，OC，OA，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 易知P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)， 设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]，使得＝λ，因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 学生用书第80页 由得 令z＝2，则n＝(1，－2，2)． ∵BM⊄平面PCD，∴BM∥平面PCD， 当且仅当·n＝0， 即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝，∴在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时＝. 空间中的线、面位置关系的证明问题主要包含两类，即平行与垂直．平行问题包括线线平行、线面平行、面面平行；垂直问题包括线线垂直、线面垂直和面面垂直．利用向量法解决位置关系问题，实际上是将复杂的几何问题转化为代数问题解决，突出了向量这一工具的便捷性，在高考中，若能将向量方法融入到立体几何的线、面位置关系的证明中，将会使问题的解答过程更加简捷明了．　　 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中的数学运算主要涉及以下内容：空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离． 题型二　利用空间向量求空间角 如图①，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，得如图②所示的三棱锥，其中∠BDC＝90°. (1)证明：平面ABD⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值． 解析：　(1)证明：因为折起前AD是BC边上的高，所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB．又因为DB∩DC＝D，所以AD⊥平面DBC．因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DBC． (2)由∠BDC＝90°及(1)知，DA，DB，DC两两垂直．不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)．因为E为BC中点，所以E(，，0)． 所以＝(，，－)，＝