1.2二次函数的图像和性质 课件 2022－2023学年九年级下册湘教版数学

BY YUSHEN 授课老师: 第一章二次函数 BY YUSHEN 二次函数的 图像和性质 1.2 02. 探究——画二次函数 y=x2的图象 BY YUSHEN 我们已经学习过用描点法画一次函数 、反比例函数的图象 ,如何画一个二次函数的图象呢? 列表 :对于二次函数 y =x2 , 其自变量x可以取任意实数。因此让x取0和一些互为相反数的数,并且算出相应的函数值,列成下表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 02. 探究——画二次函数 y=x2的图象 BY YUSHEN 描点:在平面直角坐标系内, 以 x 取的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出相应的点 可以证明y = x2 的图象关于y轴对称;图象在y轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而增大,简称为 “右升” 。 02. 探究——画二次函数 y=x2的图象 BY YUSHEN 连线 : 根据前面的分析 ,我们可以用一条光滑曲线把原点和 y 轴右边各点顺次连接起来 ;然后利用对称性 ,画出图象在y 轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来 )。 这样就得到了y= x2的图象,如图 观察 函数y= x2的图象除了具有关于 y 轴对称和 “ 右升 ” 外 ,还具有哪些性质? 从图中可以看出 :二次函数 y=x2 的图象是一条曲线 , 它的开口向上,对称轴与图象的交点是原点(0, 0); 图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而减小 ,简称为“ 左降”; 当 x=0 时 ,函数值最小 ,最小值为0. 例2 BY YUSHEN 画二次函数 y = x2 的图象 解 因为二次函数y = x2的图象关于 y 轴对称 ,因此列表时 , 自变量x可以从原点的横坐标 0 开始取值 。 列表: 1 2 1 2 x 0 1 2 3 … Y= x2 0 2 … 1 2 1 2 9 2 描点和连线: 画出图象在 y 轴右边的部分 利用对称性,画出图象在y轴左边的对称点,并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来, 这样就得到了 y = x2 的图象。如图(2) 1 2 例题 BY YUSHEN 在y= x2的图象上任取一点P(a , a2 ),它关于x轴的对称点Q的坐标是(a,- a2) , 如图所示 ,从点 Q 的坐标看出 , 点 Q 在 y= - x2的图象上 ,由此可知 ,y=- x2的图象与 y= x2的图象关于x轴对称。因此只要把y= x2的图象沿着x轴翻折并将图象“ 复 制 ”出来 ,就可以得到y=- x2的图象,如图的绿色曲线。 我们已经会画y= x2的图象 ,能不能从它得出二次函数y=- x2的图象呢? 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 观察图 :函数 y=- x2的图象具有哪些性质? 1 2 a>0 a<0 “列表 、 描点 、 连线”三步骤 尝试画二次函数y=- x2的图像 1 4 02. 说一说 BY YUSHEN 如图 ,在篮球赛场上 ,篮球在空中沿着一条曲线运动 ,它与二次函数 y=ax2( a < 0 )的图象相像吗? 以篮球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系 ,x 轴的正方向水平向右 , y 轴的正方向竖直向上 ,则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y=ax2(a < 0 )的图象的一段。由此受到启发 ,我们把二次函数 y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线(parabola ),简称为抛物线 y=ax2 一般地 ,二次函数y=ax2的图象关于y轴对称, 抛物线与它的对称轴的交点(0, 0)叫作抛物线 y = ax2 的顶点. 02. 探究 BY YUSHEN 把二次函数 y = x2 的图象E向右平移1个单位,得到图形F,如图 1 2 由于平移不改变图形的形状和大小, 因此图象 E 在向右平移1个单位后: 抛物线 F 是哪个函数的图象呢? 02. 探究 BY YUSHEN 把二次函数 y = x2 的图象E向右平移1个单位,得到图形F,如图 1 2 在抛物线y = x2上任取一点P(a, a2) 那么在向右平移1个单位后 ,点P的像点Q的坐标是什么? 1 2 1 2 02. 探究 BY YUSHEN 记b =a+1,则a=b-1,从而点Q的坐标为(b, (b-1)2)。这表明: 点 Q 在函数y= (x-1)2的图像上,由此得出抛物线F是函数y= (x-1)2的图像 1 2 1 2 1 2 从上面的过程可以说明: 函数 y = ( x - 1 )2 的图象是抛物线 F,它的开口向上,顶点是O′(1,0),对称轴是过点 O′(1,0)且平行于y轴的直线l ′。直线 l ′是由横坐标为 1的所有点组成的,我们把直线l