第十章 不等式 讲义-2023-2024学年高三上学期中职数学一轮复习

不等式 内容 基本要求 不等式的性质与证明 1、掌握不等式的基本原理 2、熟悉不等式的基本性质与推论 3、能利用不等式的性质，运用做差法来解题 不等式的解法 1、掌握一元二次不等式的解法 2、掌握分式不等式的解法 3、掌握绝对值不等式的解法 4、掌握简单的无理不等式的解法 5、会在数轴上表示不等式或不等式组的解集 不等式的应用 1、会利用不等式解决简单的实际问题 重点难点 1．理解不等式的性质与推论； 2．掌握做差法比较大小； 3．掌握一元二次不等式、分式不等式的解法 4．掌握绝对值不等式、无理不等式的解法 例题讲解 模块一 不等式的性质与推论 1、不等式的定义：用不等号连接的式子叫做不等式，我们常用不等式表示不等关系。 例如京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 解：设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1、v2的关系：2v1＋100≤v2， v1、v3的关系：v1＞3v3. 2、做差法比较两数（式）大小： ①实数比较大小： 文字语言 数学语言 等价条件 是正数 等于零 是负数 原理： ②做差法比较大小的基本步骤: 注意：定号的时候要化简至一个显然可知大小的情况，若无法直接得到大小的情况则需要进一步的变形，变形至显然可知的情况。 【例1】已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【解析】通过做差法即可比较大小 【答案】 【点评】本题变形至时，通过已知条件显然可以 判断与0的大小，故只需要变形至即可，在变形过程中借助之前所 学的因式分解、添括号等知识点，刚好对之前所学知识点形成一个复习。 【例2】已知，比较3x3与3x2－x＋1的大小 【解析】借助做差法展开讨论 【答案】 ； ； . 【点评】本题作为例1的引申，说明我们在比较代数式的大小时需要根据实际的变形结果以及题设条件去综合判断代数的大小之分，有可能会出现不同种的情况，这体现了分类讨论的思想，所以学生要注意不要只凭借自己的主观臆想去贸然下结论，在对式子的变形的时候更要注重，一定是根据题设条件显然可以直接得出结论才行，而不是化简至一个无法得出结论的式子就凭借主观臆想得出结论。 【例3】甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 【解析】我们可以直接根据除了户主之外的人数来确定选哪家旅游社更优惠。 【答案】设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为，一张全票价为a元，则 . 当时，； 当，即时， 因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠． 【点评】根据题设列出不等式，通过做差法比较大小即可。 【变式训练】 【变式1-1】下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”． B．小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“”． C．某变量x至少是a可表示为“”． D．某变量y不超过a可表示为“”． 【变式1-2】设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　) A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 【变式1-3】若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 【变式1-4】x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小 3、不等式的基本性质与推论： 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 ⇔ ⇔ 2 传递性 不可逆 3 可加性 可逆 4 可乘性 的符号 5 同向可加性 同向 6 同向同正可乘性 同向 7 可乘方性 同正 思考1　若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 思考2　若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 【例4】对于任意实数a，b，c，则下列四个命题： ①若，，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 其中正确命题的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】根据不等式的性质逐条判定即可. 【答案】时，若，则，①错误； 若，则，②错误； 若，则，∴，③正确； ，若，仍然有，④错误． 正确的只有1个．故选：C． 【点评】此题综合考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是关键。 【例5】若、、为实数，则下列命题正确的是( ) A．若，则 B．若