第十一章 函数 讲义-2023-2024学年高三上学期中职数学一轮复习

函数 内容 基本要求 函数的概念及其表示、分段函数 1、掌握函数的概念 2、掌握函数的定义域、解析式的一般求解方法 3、掌握分段函数的定义以及简单应用 函数的单调性 1、掌握函数的单调性的定义及其证明 2、掌握函数的最值 3、会利用函数的单调性解决相关问题 函数的奇偶性 1、掌握函数的奇偶性的定义以及证明 2、掌握奇偶函数的图像特征 3、会利用函数的奇偶性解决相关问题 重点难点 1．掌握函数的定义域的求解、同一函数的判定； 2．掌握简单的函数解析式的求法； 3．掌握分段函数的定义以及分段函数的简单应用； 4．掌握函数单调性的定义以及证明； 5、会利用函数的单调性解决简单的函数应用问题； 6、掌握函数奇偶性的定义及其证明； 7、掌握奇偶函数的图像特征及其简单应用 例题讲解 模块一 函数的概念及其表示、分段函数 1、函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作。其中集合A称之为函数的定义域，集合B称之为函数的值域，称之为对应关系。 2、函数三要素： ①函数的定义域：函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0（例如）. (3)一次函数、二次函数的定义域均为. (4)的定义域是. ②函数的解析式: (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. ③函数的值域: 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数(k为常数且k≠0)的值域为. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为． (3)二次函数(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. 【例1】（多选题）下列各图中，是函数图像的是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解. 【答案】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应， 满足条件的只有BD. 故选：BD 【点评】判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 【例2】（多选）集合，下列表示从到的函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据函数的定义，当时，根据对应法则检验对应的函数值是否在集合B中，即可得到答案. 【答案】由题意，集合， 对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数； 对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数； 对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数； 对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数. 故选：ABD 【点评】这里要注意函数定义中的那句话“集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应”，也就是说集合A每取一个数，在集合B中都有一个数与之对应，这样才能满足从集合A到集合B的一个函数。 【例3】求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）解不等式组即得解； （2）解不等式即得解； （3）解不等式组即得解； （4）解不等式即得解. 【答案】（1）由题得，所以，所以且，所以函数的定义域为. （2）由题得，所以，所以函数的定义域为. （3）由题得，解之得且，所以函数的定义域为. （4）由题得，所以，所以函数的定义域为. 【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。 【例4】若函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【解析】根据的定义域即可得出需满足：，解出的范围即可． 【答案】解：的定义域为； 满足； 解得； 的定义域为． 故选A． 【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域的方法．定义域的三种常考类型： (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 【例5】已知函数的定义域是，则的定义域是___