第十二章 指数函数讲义-2023-2024学年高三上学期中职数学一轮复习

指数函数 内容 基本要求 指数运算 1、理解指数的概念 2、理解n次方根的定义 3、理解并掌握分数指数幂的定义与运算 4、掌握有理数指数幂的运算性质 指数函数 1、掌握指数函数的定义 2、掌握指数函数的图像与性质 3、会利用指数函数的图像与性质解决简单的函数问题 重点难点 1．理解n次方根的定义； 2．掌握分数指数幂的运算； 3．掌握有理数指数幂的运算性质； 4．掌握指数函数的定义； 5、掌握指数函数的图像与性质； 6、会利用指数函数的图像与性质解决简单的函数问题； 例题讲解 模块一 n次方根 1、a的n次方根的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 2、a的n次方根的表示： 的奇偶性 的次方根的表示符号 的取值范围 为奇数 为偶数 注意：叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 思考：根据次方根的定义，当为奇数时，是否对任意实数a都存在次方根？当为偶数呢？ 答：当为奇数时，对任意实数，都存在次方根，可表示为，但当为偶数时不是，因为当时，没有次方根；当时，才有次方根，可表示为 3、n次方根的性质： (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作 (3) (4) (5) 思考:根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ 答：开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 思考：写成分数指数幂的形式是怎样的？ 答：。 4、分数指数幂： 1．规定正数的正分数指数幂的意义是． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是 3．0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 思考：分数指数幂可以理解为个相乘吗？ 答：不可以．分数指数幂不可以理解为个相乘．事实上，它是根式的一种新写法． 5、有理数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1) (2) (3) (4) 注意：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【例1】下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】利用有理数指数幂的运算性质求解 【答案】解：对于选项A：当时，，所以选项A错误， 对于选项B：当时，，所以选项B错误， 对于选项C：当时，，所以选项C正确， 对于选项D：当时，无意义，所以选项D错误， 故选：C． 【点评】掌握有理数指数幂的运算性质是解题的关键。 【例2】将根式化简为指数式（　　） A． B． C． D． 【解析】利用有理数指数幂及根式的运算性质化简． 【答案】解：， 故选：A． 【点评】掌握有理数指数幂的运算性质是解题的关键，其中特别是。 【例3】计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【解析】利用有理指数幂的运算性质进行求解即可． 【答案】解：原式． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数指数幂的运算性质在实际计算中的应用。 【例4】已知，则等于（　　） A． B．±8 C． D． 【解析】把已知等式变形，可得，进一步得到，则x值可求． 【答案】解：由x4，得，即， ∴，得x． 故选：A． 【点评】本题主要是考查利用指数幂的运算性质化简相关参数的值，在计算的过程中可以适当把指数幂转化成根式的形式代入运算。 【例5】若（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【解析】由有理数指数幂的运算性质可知，代入已知条件即可求出结果． 【答案】解：， 故选：C． 【点评】将题目中的待求式用条件中的式子表示出来，进一步化简即可得到答案。 【例6】方程的解集是（　　） A． B． C． D． 【解析】先把，然后再化简求值即可。 【答案】解：原方程可化为：，，解得：． 故选：B． 【点评】指数方程常见的一种类型是，这里可以把等号两端的底数变成一样。 【例7】方程4x﹣10•2x+16＝0的解集是 【解析】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可． 【答案】解：， 【点评】指数方程常见的一种类型是，这里可以利用换元法求解。 【变式训练】 【变式1-1】化成分数指数幂为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】化简下列各式； (1)； (2) 【变式1-3】化简的结果为( ) A． B． C． D． 【变式1-4】计算（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知，则等于（　　） A．2 B． C． D．± 【变式1-7】方程的解是　x＝﹣1　 【变式1-8】方程的解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 模块二 函数的单调性 1、指数函数的定义:形如的函数叫做指数函数，其中为常量（） 2、指数函数的图像分析: 的范围 图像 定义域 值