第八章 二次函数 讲义-2023-2024学年高三上学期中职数学一轮复习

二次函数 内容 基本要求 二次函数的定义 1、了解二次函数的定义 二次函数的图像与性质 1、掌握的图像与性质 2、掌握的图像与性质 3、掌握的图像与性质 4、了解二次函数图像与的关系 5、掌握二次函数表达式的求解 二次函数与一元二次方程的关系 1、掌握二次函数与一元二次方程的关系 2、能利用二次函数与一元二次方程的关系解决相关问题 二次函数的实际应用 1、掌握二次函数与面积最值的问题 2、理解二次函数与最大利润的问题 重点难点 1．掌握二次函数的图像与性质； 2．掌握二次函数的解析式求解； 3．掌握二次函数与一元二次方程之间的联系 4．掌握二次函数与面积最值的问题 例题讲解 模块一 二次函数定义 1、二次函数定义：一般地，如果（是常数，且），那么叫做的二次函数. 注意：①自变量的最高次数为2 ②二次项系数 ③各项均为整式 【例1】下列函数是二次函数的是（ ） A．y＝－2x＋3 B．y＝5x²＋1 C．y＝（x－1）²－x² D．y＝x³＋2x²－1 【解析】根据二次函数的一般形式y＝ax²+bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)解答即可． 【答案】解：A中函数是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B中函数是二次函数，符号题意； C中函数y＝（x－1）²－x²=x²－2x+1－x²=－2x+1是一次函数，不是二次函数， 不符合题意； D中函数不是二次函数，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟记二次函数的一般形式是解答的关键． 【例2】若y＝（m－2）＋5x－3是二次函数，则常数m的值为（ ）． A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定 【解析】先根据二次函数的定义（一般地，形如的函数叫做二次函数，其中为常数，且）可得，再利用平方根解方程即可得． 【答案】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数，熟记二次函数的定义是解题关键． 【变式训练】 【变式1-1】下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2 【变式1-2】若是关于x的二次函数，则a的值是（ ） A．1 B．-5 C．-1 D．-5或-1 【变式1-3】对于函数，以下四种说法中正确的是（ ） A．当时，它是一次函数 B．当时，它是二次函数 C．当时，它是二次函数 D．以上说法都不对 模块二 二次函数的图像与性质 1、二次函数图像特征: ①由下图可知二次函数的图像是一条曲线，我们称之为“抛物线”。 ②由下图可知，当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下 ③由下图可知，当时抛物线开口向上，抛物线有一个最小值点； 当时抛物线开口向下，抛物线有一个最大值点 对于抛物线的最值点我们称之为“顶点”。 ④由下图明显可知抛物线是轴对称图形，有一条对称轴。 注意：二次函数的图像分析一般从开口方向、顶点、对称轴入手。 2、二次函数图像： 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化趋势 最值 开口向上 原点 轴 时，随增大而增大； 时，随增大而减小 最小值（0，0） 开口向下 原点 轴 时，随增大而减小； 时，随增大而增大 最大值（0，0） 【例3】关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，并且关于轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于轴对称 【解析】根据二次函数的图像性质分析判断即可 【答案】二次函数的图像是一条抛物线，故A不符合题意； ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴关于轴对称，故B不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴它的顶点是抛物线的最低点，故C符合题意； ∵和1互为相反数， ∴它与的图像关于轴对称，故D不符合题意； 故选C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 【例4】二次函数，当a＜0时，y的值恒小于0，则自变量x的取值范围（ ） A．x可取一切实数 B．x＞0 C．x＜0 D．x≠0 【解析】根据，，得到，根据y的值恒小于0，判定x≠0． 【答案】∵≥0，a＜0， ∴a≤0， ∵y的值恒小于0， ∴x≠0． 故选D． 【点评】本题考查了抛物线的性质，实数的非负性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【例5】若二次函数y＝﹣ax2的图像经过点P（﹣，2），则该图像必经过点（　　） A．（，﹣2） B．（2，） C．（2，﹣） D．（，2） 【解析】根据二次函数图像的对称性解答． 【答案】解：∵点P（−，2）与（，2）关于二次函数y＝−ax2的对称轴y轴对称， ∴该图像必经过点（，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了二