5.1.1 变化率问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5. 1 导数的概念及其意义 ► 对应学生用书 P48 5 ．1. 1 变化率问题 课程标准 核心素养 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程. 2 ．体会极限思想. 1.数学抽象：通过对函数的平均变化率、瞬时 变化率、瞬时速度的概念的学习. 2 ．数学运算：体会极限思想，会求平均变化 率、瞬时变化率及瞬时速度. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、瞬时速度 1 ．瞬时速度的定义：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2 ．一般地，设物体的运动规律是 s ＝s(t) ，则物体在 t0 到 t0 + Δt 这段时间内的平均速度 为 ＝ .如果 Δt 无限趋近于 0 时， 无限趋近于某个常数 v，我们 就说当 Δt 无限趋近于 0 时， 的极限是 v，这时 v就是物体在时刻 t ＝t0 时的瞬时速度，即 ( Δ t → 0 Δ t → 0 )瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . [提醒] Δt 可正，可负，但不能为 0. 二、抛物线的切线的斜率 1 ．切线：设 P0 是曲线上一定点，P 是曲线上的动点，当点 P 无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0 T 称为曲线在点 P0 处的切线. 2 ．切线的斜率：设 P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点 P0(x0，y0)处的切 线的斜率为 k0 = Δ0 － . 3 ．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时， 点 P 无限趋近于点 P0 ，于是割线 PP0 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T，这时，割线 PP0 的斜率 k 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T 的斜率 k0. [提醒] 极限的几何意义： 曲线y＝f(x)在 x ＝x0 处的切线斜率. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0 + Δt)>h(t0).( ) (2)瞬时速度是刻画物体在区间[t0 ，t0 + Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量．( ) (3)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置．( ) (4)若一质点的运动方程为 s ＝t2＋1 ，则在时间段[1 ，2]中的平均速度是 3. ( ) 答案：(1)× (2)× (3) √ (4) √ 2 ．一个物体做直线运动，位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s(t) ＝t2＋2t＋3 ，则该物 体在 t ＝2 时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：选 C. Δlt (i)0 = Δ0 (Δt＋6) ＝6. 3 ．一物体做直线运动，其运动方程为 s(t) ＝－t2＋2t ，则 t ＝0 时，其速度为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 解析：选 D 因为 lim Δs = ( Δ x → 0 ). Δt ( lim )-（t +Δt）2＋2（t +Δt）－（－t2＋2t） ( Δ t → 0 )Δt = lim (－2t＋2-Δt) ＝－2t＋2， Δt→0 所以当 t ＝0 时，其速度为 2. 4 ．抛物线y ＝x2＋4 在点(1 ，5)处的切线的斜率为 . 解析：k = Δ0 = Δ0 (Δx＋2) ＝2. 答案：2 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一 平均速度 【例 1】 某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s(t) ＝sin t ，t ∈[0 ， ]. (1)分别求 s(t)在区间[0，