4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用 ► 对应学生用书 P34 课程标准 核心素养 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的性质解 题． 2 ．能在具体的问题情境中，发现数列的等比 关系，并解决相应的问题． 1.数学运算：能应用等比数列前 n 项和公式的 性质解题． 2 ．逻辑推理：理解等比数列的前 n 项和的性 质． 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、等比数列前 n 项和公式的灵活应用 若{an }是公比为 q 的等比数列，S 偶 ，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前 2n 项中，S 奇 (S 偶) ＝q； (2)在其前 2n＋1 项中 ，S 奇－S 偶 ＝a1 －a2 ＋a3 －a4＋…－ a2n ＋a2n＋1 ＝ ＝ a1 ＋a2n＋2 (q≠－1)；S 奇 ＝a1＋qS 偶 1＋q ． 二、等比数列中的片段和问题 1 ．若{an }是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m ＝Sn ＋qnSm(n ，m ∈N*). 2．数列{an }为公比不为－1 的等比数列(或公比为－1，且 n 不是偶数)，Sn 为其前 n 项和， 则 Sn ，S2n－Sn ，S3n－S2n 仍构成等比数列． [提醒] 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即 Sn ≠0. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”，错误的打“ × ”). (1)等比数列{an }的前 n 项和 Sn 不可能等于 2n.( ) (2)若{an }的公比为 q ，则{a2n}的公比为 q2.( ) (3)若{an }的公比为 q ，则 a1 ＋a2 ＋a3 ，a2 ＋a3 ＋a4 ，a3 ＋a4 ＋a5 的公比也为 q.( ) (4)等比数列{an }是递增数列，前 n 项和为 Sn ，则{Sn }也是递增数列．( ) 答案：(1) √ (2) √ (3) √ (4)× 2 ．在等比数列{an }中，a1a2a3 ＝1 ，a4 ＝4 ，则 a2 ＋a4 ＋a6＋…＋a2n 等于( ) A 2n－1 B 4n－1 ． ． 3 ( C ． D ． )1－（－4）n 1－（－2）n 3 3 学科网（北京）股份有限公司 解析：选 B. 由 a1a2a3 ＝1 得 a2 ＝1 ，又 a4 ＝4 ，故 q2 ＝4 ，a2 ＋a4 ＋a6 +…+a2n ＝ = 4n－1 . 3 3．有一种细菌和一种病毒，每个病毒在每秒钟杀死一个细菌的同时产生 2 个病毒，现在 有 1 个这种病毒和 200 个这种细菌，问病毒将细菌全部杀死至少需要( ) A ．6 s B ．7 s C ．8 s D ．9 s 解析：选 C.根据题意，每秒钟病毒杀死的细菌数成等比数列， 设需要 n 秒病毒可将细菌全部杀死， 则 1＋2＋22＋23 +…+2n－ 1≥200， ∴ 1－2n ≥200 1－2 ， ∴2n ≥201 ，结合 n ∈N* ，解得 n ≥8， 即至少需 8 s病毒将细菌全部杀死. 4 ．已知正项等比数列{an }的前 n 项和为 Sn ，且 S3 ＝6 ，S6 ＝9 ，则 S6 ＝ ． 解析： 由等比数列前 n 项和性质知 S3 ，S6－S3 ，S9－S6 成等比数列，则 S6－S3 ＝3 ，S9 - S6 ＝ ，S9 ＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6) ＝6＋3＋ ＝ . 答案： 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__等比数列前 n 项和公式的灵活应用 【例 1】 (1)已知等比数列{an }共有 2n 项，其和为－240 ，且(a1 ＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋ a4＋…＋a2n) ＝80 ，则