4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

4 ．3.2 等比数列的前 n 项和公式 ► 对应学生用书 P31 第 1 课时 等比数列的前 n 项和公式 课程标准 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前 n 项和公式. 2 ．理解等比数列的通项公式与前 n 项和公式 的关系. 1.逻辑推理：掌握等比数列的前 n 项和推导过 程. 2 ．数学运算：理解等比数列的通项公式与前 n 项和公式的关系. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、等比数列前 n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn = （q≠1）， na1（q ＝1） Sn = （q≠1）， na1（q ＝1） [提醒] 用等比数列前 n 项和公式求和，一定要对该数列的公比 q ＝1 和 q≠1 进行分类讨 论. 二、利用等比数列前 n 项和公式判断等比数列 (1)当公比 q≠1 时，设 A ＝ ，等比数列的前 n 项和公式是 Sn ＝A(qn－1) ，即 Sn 是 n 的指数型函数. (2)当公比 q ＝1 时，因为 a1 ≠0 ，所以 Sn ＝na1 ，Sn 是 n 的正比例函数. [提醒] 等比数列前 n 项和公式的结构特点即 qn 的系数与常数项互为相反数. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)求等比数列的前 n 项和可以直接套用公式 Sn ＝ .( ) (2)等比数列的前 n 项和不可以为 0.( ) (3)数列{an }的前 n 项和为 Sn ＝an＋b(a ≠0 ，a ≠1) ，则数列{an }一定是等比数列．( ) (4)在数列{an }中，an＋1 ＝2an, a1 ＝1 ，则数列{an }的前 5 项的和等于 31( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4) √ 2 . A . B . 等比数列 1 ，x ，x2 ，x3 ， …的前 n 项和 Sn 等于( ) 1－xn 1－x 1－xn－ 1 1－x ( 1 － x n n ， x ＝ 1 1 － x n － 1 n ， x ＝ 1 ) , x ≠1 且 x ≠0 C ． 1－x , x ≠1 且 x ≠0 D ． 1－x 解析：选 C. 当 x ＝1 时，Sn ＝n； 当 x ≠1 且 x≠0 时，Sn ＝ . 3 ．在等比数列{an }中，若 a1 ＝1 ，a4 ＝ ，则该数列的前 10 项和 S10 ＝( ) A ．2 － B ．2 － C ．2 － D ．2 － 解析：选 B. 易知公比 q ＝ ，则 S10 ＝ ＝2 － . 4 ．数列{an }是等比数列，且其前 n 项和为 Sn ＝3n＋ 1－2k，则实数 k = . 解析： ∵Sn ＝3n＋ 1－2k ＝3·3n－2k，且{an } 为等比数列， ∴3－2k ＝0 ，即 k＝ . 答案： 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__求等比数列的前 n 项和 【例 1】 在等比数列{an }中，Sn 为其前 n 项和，解决下列问题： (1)若 an ＝2n ，求 S6； (2)若 a1 ＋a3 ＝ ，a4 ＋a6 ＝10 ，求 S5； 解：设数列{an }的首项为 a1 ，公比为 q. (1)∵an ＝2n ＝2×2n－ 1 ， ∴a1 ＝2 ，q ＝2. ∴S6 ＝ ＝126. ( a 1 q 3 ＋ a 1 q 5 ＝ 10 ， q ＝ 2 ， 1 － q 1 － 2 )(2)由题意，得 a1 ＋a1q2 ＝ ， 解得a1 ＝ ， 从而 S5 ＝a1（1－q5 ） ＝×（1－25 ） 31 = . 4 [总结] 求等比数列的前 n 项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注 意公比 q ＝1 是否成立. 【跟踪训练】 1.在 14 与 之间插入 n 个数，组成所有项的和为 的等比数列，求此 数列的项数. 解：设此数列的公比为 q(易知 q≠1)， ( , ) ( 8 1 － q ) ＝14qn＋ 1， 则 77 ＝14－q q ＝－1， ( n ＝ 3 ， )解得 2 故此数列共有 5 项. 题型二__等比数列中与前 n 项和有关的基本运算 【例 2】 在等比数列{an }中. (1)S2 ＝30 ，S3 ＝155