4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

4 ．2.2 等差数列的前 n 项和公式 ► 对应学生用书 P15 课程标准 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前 n 项和公式. 2 ．理解等差数列的通项公式与前 n 项和公式 的关系. 1.逻辑推理：掌握获取等差数列的前 n 项和公 式的思路. 2 ．数学运算：(1)熟练掌握等差数列中五个量 a1 ，d，n ，an ，Sn 的关系，并能够由其中三个 求另外两个．(2)能用 an 与 Sn 的关系求 an. 第 1 课时 等差数列的前 n 项和公式 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn ＝ Sn ＝na1 ＋d [提醒] (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首末两项 之和； (2)由公式二知 d＝0 时，Sn ＝na1；d≠0 时，等差数列的前 n 项和 Sn 是关于 n 的没有常数 项的“二次函数 ”； (3)公式里的 n 表示的是所求等差数列的项数. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”) . (1)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ，则 Sn 与 an 不可能相等．( ) (2)等差数列{an }的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数．( ) (3)等差数列{an }的前 n 项和 Sn ＝ .( ) (4)已知数列{an }的通项公式为 an ＝2－3n，n ∈N*，则{an }的前 n 项和 Sn ＝－n2 ＋ .( ) 答案：(1)× (2)× (3) √ (4) √ 2 ．在等差数列{an }中，若 a2 ＋a8 ＝8 ，则该数列的前 9 项和 S9 等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 解析：选 C.S9 ＝(a1 ＋a9) ＝(a2 ＋a8) ＝36. 3 ．已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ，且 S3 ＝6 ，a3 ＝4 ，则公差 d 为( ) A ．1 B. C ．2 D ．3 解析：选 C. 因为 S3 ＝ ＝6 ，而 a3 ＝4 ，所以 a1 ＝0 ，所以 d ＝ ＝2. 4 ．数列{an }为等差数列，它的前 n 项和为 Sn ，若 Sn ＝(n＋1)2 +λ , 则λ的值是 . 解析：等差数列前 n 项和 Sn 的形式为 Sn ＝an2＋bn ， ∴λ= -1. 答案：－1 高效导学第二步 典例探究，提升关键能力 题型一__等差数列中与前 n 项和有关的基本运算 【例 1】 在等差数列{an }中： (1)已知 a5 ＋a10 ＝58 ，a4 ＋a9 ＝50 ，求 S10； (2)已知 S7 ＝42 ，Sn ＝510 ，an－3 ＝45 ，求 n. 解：(1)法一 由已知条件得 ( 解得 )a5 ＋a10 ＝2a1＋13d ＝58 ， a1 ＝3， a4 ＋a9 ＝2a1＋11d ＝50 ， d ＝4. ∴S10 ＝10a1 ＋d＝10×3＋×4 ＝210. 法二 由已知条件得 a5 ＋a10 ＝（a1 ＋a10）＋4d＝58， a4 ＋a9 ＝（a1 ＋a10）＋2d ＝50， ∴a1 ＋a10 ＝42， ∴S10 ＝ ＝5×42 ＝210. (2)S7 ＝ ＝7a4 ＝42 ， ∴a4 ＝6. ∴Sn ＝ ＝ ＝ ＝510. ∴n ＝20. [总结] 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1 ，d，n ，an 和 Sn ，这五个量可以“知 三求二 ”．一般是利用公式列出基本量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题 时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若 m ＋n＝p＋q(m ，n，p ，q∈N*) ，则 am ＋an ＝ap ＋aq ，常与求和 公式 Sn ＝结合使用. 【跟踪训练】 1.在等差数列{an }中： (1)a1 ＝1 ，a4 ＝7 ，求 S9； (2)a3 ＋a15 ＝40 ，求 S17； (3)a1 ＝ ，an ＝－ ，Sn ＝－5 ，求 n 和 d. 解：(1)设等差数列