4.1 第2课时 数列的递推公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 数列的递推公式 ► 对应学生用书 P5 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的递推公式． [提醒] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n 的恒等 式. 二、数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系 1 ．数列的前 n 项和 把数列{an }从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列{an }的前 n 项和，记作 Sn ，即 Sn ＝a1 ＋a2＋…＋an． 2 ．an 与 Sn 的关系 ( S n － S n － 1 ， n ≥ 2. )S1 ，n ＝1， an ＝ 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”，错误的打“ × ”). (1)递推公式也是表示数列的一种方法．( ) (2)所有数列都有递推公式．( ) (3)an ＝Sn－Sn－1 成立的条件是 n ∈N* .( ) 答案：(1) √ (2)× (3)× 2 ．已知在数列{an }中，a1 ＝2 ，an＋1 ＝an ＋n(n ∈N*) ，则 a4 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选 D. 因为 a1 ＝2 ，an＋1 ＝an ＋n， 所以 a2 ＝a1＋1 ＝2＋1 ＝3， a3 ＝a2＋2 ＝3＋2 ＝5， a4 ＝a3＋3 ＝5＋3 ＝8. 3 ．已知数列{an }的前 n 项和 Sn ＝n2－2n ，则 a2 ＋a18 等于( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33 解析：选 C.a2 ＝S2－S1 ＝22－2×2－(12－2×1) ＝1， a18 ＝S18－S17 ＝182－2×18－(172－2×17) ＝33. ∴a2 ＋a18 ＝34. 4 ．已知数列{an }中，a1 ＝1 ，a2 ＝2 ，且 an ·an＋2 ＝an＋1(n ∈N*) ，则 a2 023 的值为( ) A ．2 B ． 1 C 1 D ．1 . 2 4 解析：选 B.an ·an＋2 ＝an＋1(n ∈N*)， 由 a1 ＝1 ，a2 ＝2 ，得 a3 ＝2， 由 a2 ＝2 ，a3 ＝2 ，得 a4 ＝1， 由 a3 ＝2 ，a4 ＝1 ，得 a5 ＝ ， 由 a4 ＝1 ，a5 ＝ ，得 a6 ＝ ， 由 a5 ＝ ，a6 ＝ ，得 a7 ＝1， 由 a6 ＝ ，a7 ＝1 ，得 a8 ＝2， 由此推理可得数列{an }是一个周期为 6 的周期数列， 所以 a2 023 ＝a337×6＋1 ＝a1 ＝1. 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__由递推公式求数列的指定项 【例 1】 已知数列{an }的第一项 a1 ＝1 ，以后的各项由公式 an＋1 ＝ 给出，试写出 这个数列的前 5 项. 解： ∵a1 ＝1 ，an＋1 ＝ ， ∴a2 ＝ 2a1 ＝2 a1＋2 3 ， 2×2 2a2 3 1 ( a 3 = = = , )a2＋2 ＋2 2 2×1 2a3 2 2 ( a 4 = = = ) ( 2 ＋ 2 )a3＋2 1 5 ， 2×2 2a4 5 1 a5 ＝ ＝ ＝ . ( 5 ＋