4.1 第1课时 数列的概念及通项公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第四章 数 列 4. 1 数列的概念 ► 对应学生用书 P1 课程标准 核心素养 1.通过日常生活和数学中的实例， 了解数列 的概念和表示方法 (列表、图象、通项公式). 2 ．了解数列是一种特殊函数． 1.数学抽象：理解数列及其有关概念，理解数 列的通项公式． 2 ．数学运算：会用通项公式写出数列的任意 一项． 3 ．逻辑推理：对于比较简单的数列，会根据 其前几项写出它的一个通项公式． 第 1 课时 数列的概念及通项公式 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、数列的概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个 数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项，常用符号 a1 表示，第二个位置 上的数叫做这个数列的第 2 项，用 a2 表示，……，第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项， 用 an 表示．其中第 1 项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是 a1 ，a2 ，a3 ， … ，an ， … ，简记为{an }． 3 ．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一 项的数列 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一 项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项 [提醒] (1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，则它们是不同的数列； (2)同一个数可以在数列中重复出现； (3){an }表示一个数列，an 表示数列中的第 n 项. 二、数列的通项公式 如果数列{an }的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 个式子叫做这个数列的通项公式. [提醒] (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)有些数列的通项公式的表达形式不唯一. 三、数列与函数的关系 1 ．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的， 而数列是自变量为离散的数的函数. [提醒] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*(或它的有限子集)为定义域的函数 表达式. (2)数列还可以用列表法、 图象法表示. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)1 ，1 ，1 ，1 是一个数列．( ) (2)数列 1 ，3 ，5 ，7 ， …的第 10 项是 21.( ) (3)每一个数列都有通项公式．( ) (4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( ) 答案：(1) √ (2)× (3)× (4)× 2 ． 已知数列{an }的通项公式为 an ＝ ，n ∈N* ，则该数列的前 4 项依次为 ( ) A ． 1 ，0 ， 1 ，0 B ．0 ， 1 ，0 ， 1 C． ，0， ，0 D ．2 ，0 ，2 ，0 解析： 选 A.把 n ＝1 ，2 ，3 ，4 依次代入通项公式，得 a1 ＝ ＝1 ，a2 = 1＋（－1）2＋ 1 2 =0 ，a3 ＝ ＝1 ，a4 ＝ ＝0. 3 ．在数列{an }中，an ＝ ，则{an }( ) A ．是常数列 B ．不是单调数列 C ．是递增数列 D ．是递减数列 解析：选 D.在数列{an }中，an ＝ ＝1＋ ，由反比例函数的性质得{an }是递减数 列. ( n ＋ 2 ， n － 3 ， )4 ．数列{an }的通项公式为 an＝ n 是奇数， n 是偶数， 则 a3 ＋a6 ＝ ． 解析：a3 ＋a6 ＝(3＋2)＋(6－3) ＝5＋3 ＝8. 答案：8 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一 数列的概念 【例 1】 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减 数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1 ，0.84 ，0.842 ，0.843 ， …； (2)2 ，4 ，6 ，8 ，10 ， …； (3)7 ，7 ，7 ，7 ， …； (4) ， ， ， ， …； (5)10 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1； (6)0 ，－1 ，2 ，－3 ，4 ，－5 ， …. 解：(5)是有穷数列；(1)(