微专题(三) 数列求和-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

微专题(三) 数列求和 ► 对应学生用书 P36 题型一 裂项相消法 【例 1】 已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ，满足 S2 ＝2 ，S4 ＝16 ，{an＋1}是等比数列． (1)求数列{an }的通项公式； 1 (2)若 an>0 ，设 bn ＝log2(3an＋3) ，求数列 b nbn＋ 1 的前 n 项和． 解：(1)设等比数列{an＋1}的公比为 q ，其前 n 项和为 Tn， 因为 S2 ＝2 ，S4 ＝16 ，所以 T2 ＝4 ，T4 ＝20， 易知 q≠1 ，所以 T2 ＝ ＝4 ，① ( （ a 1 ＋ 1 ）（ 1 － q 4 ） ) ( 1 － q ， )T4 ＝ ＝20 ② ( ① , . )由② 得 1＋q2 ＝5 解得 q = ±2 当 q ＝2 时，a1 ＝ ，所以 an＋1 ＝ ×2n－ 1 ＝ ； 当 q ＝－2 时， 所以 an ＝ (2)因为 an>0， a1 ＝－5 ，所以 an＋1 ＝(－4)×(－2)n－ 1 ＝－(－2)n＋ 1 . -1 或 an ＝－(－2)n＋ 1－1. 所以 an ＝ －1 ，所以 bn ＝log2(3an＋3) ＝n＋1， 所以 ＝ ＝ － ， ( 1 b n b n + － ) ( 1 )所以数列 ( 1 － 1 ) 2 3 + 的前 n 项和为 ( 1 1 ) - +…+ n＋1 n ＋2 = － ＝ . [总结] (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求 和的目的． (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (4)常见的裂项求和的形式： ( 1 1 ) ( ① ＝ )n（n＋k） k ( 1 1 )n －n＋k ； ② 1 ＝1 （2n－1）（2n＋1） 2 － ； ③ 2n ＝ 1 － 1 ； （2n＋1）（2n＋ 1＋1） 2n＋1 2n＋ 1＋1 ④ ＝ [ － ]； ⑤ ＝ － ； ( 1 ＋ 1 )⑥ln n ＝ln (n＋1)－ln n. 注意：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系； (2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组； (3)检验所留的正项与负项的个数是否相同． 【跟踪训练】 1.设 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，已知 S3 ＝a7 ，a8－2a3 ＝3. (1)求 an； (2)设 bn ＝ ，求数列{bn }的前 n 项和 Tn . 解：(1)设数列{an }的公差为 d， ( 3 a 1 ＋ 3 d ＝ a 1 ＋ 6 d ， 由题意得 )（a1＋7d）－2（a1＋2d）＝3， 解得 a1 ＝3 ，d ＝2， ∴an ＝a1＋(n－1)d ＝2n＋1. (2)由(1)得 Sn ＝na1 ＋ d＝n(n＋2)， ∴bn ＝ ＝ － . ∴Tn ＝b1＋b2 +…+bn－1＋bn ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 － － 1 1 - )=2 [ 3 ＋ 2 4 +…+(n－1 －n＋1 )＋ n n＋2 ] ( = 2 2 n ＋ 1 n ＋ 2 )1 1＋1 － 1 － 1 ( 3 1 + ) ( = 4