5.2.1 基本初等函数的导数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

5 ．2 导数的运算 ► 对应学生用书 P60 5 ．2. 1 基本初等函数的导数 课程标准 核心素养 1.能根据导数定义求函数y ＝c，y ＝x，y ＝x2， y ＝x3，y ＝ ，y ＝ 的导数. 2 ．会使用导数公式表. 数学运算：能根据导数定义求函数的导数， 会使用基本初等函数的导数公式进行求导. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x) ＝c(c 为常数) f′(x) ＝0 f(x) ＝x f′(x) ＝1 f(x) ＝x2 f′(x) ＝2x f(x) ＝ f′(x) ＝－ f(x) ＝ f′(x) ＝ 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x) ＝c(c 为常数) f′(x) ＝0 f(x) ＝x α(α ∈Q*) f′(x) = αxα- 1 f(x) ＝sin x f′(x) ＝cos_x f(x) ＝cos x f′(x) ＝－sin_x f(x) ＝ax f′(x) ＝ax ln a(a>0) f(x) ＝ex f′(x) ＝ex f(x) ＝logax f′(x) ＝ (a>0 ，且 a ≠1) f(x) ＝ln x f′(x) ＝ ( . )[提醒] 对于根式f(x) ＝n ，要先转化为f(x) ＝ ，所以f′(x) = 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)若y ＝ ，则y′ ＝ ×2 ＝1.( ) (2)若f(x) ＝ ，则f′(x) ＝－ .( ) (3)若f(x) ＝4x ，则f′(x) ＝4xlog5e.( ) (4)已知f(x) ＝x2 ，则f′(3) ＝6( ) 答案：(1)× (2) √ (3)× (4) √ 2 ．(多选)下列选项正确的是( ) A．y ＝ln 2 ，则y′ ＝ B．y ＝ ，则y′ |x ＝3 ＝－ C．y ＝2x ，则y′ ＝2x ln 2 D．y ＝log2x ，则y′ ＝ 解析：选 BCD.对于 A ，y ′ ＝0 ，故 A 错；对于 B ， ∵y ′ ＝－ ， ∴y ′ |x ＝3 ＝－ ， 故 B 正确； 显然 C ，D 正确. 3 ．一质点的运动方程为 s ＝cos t ，则 t ＝1 时质点的瞬时速度为( ) A ．2cos 1 B ．－sin 1 C ．sin 1 D ．2sin 1 解析：选 B.s ′ ＝－sin t ， 当 t ＝1 时，s ′ |t＝1 ＝－sin 1 ，所以当 t ＝1 时质点的瞬时速度 为－sin 1. 4 ． 曲线y ＝ 在点 M(3 ，3)处的切线方程是 . 解析：∵y′ ＝－ ，∴y ′ |x ＝3 ＝－1 ，∴在点(3，3)的斜率为－1 的切线方程为y－3 ＝－(x -3)， 即 x＋y－6 ＝0. 答案：x＋y－6 ＝0 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__基本初等函数的求导公式 【例 1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x0(x ≠0)； ( (2) y = ) ( 3 )1 x ; (3)y ＝lg x； (4)y ＝ ； (5)y ＝2cos2 －1. 解：(1)y′ ＝0. (2)y′ = ( 3 )1 x ln 1 3 = - ( 3 )1 x ln 3. (3)y′ ＝ . (5)∵y ＝2cos2 －1 ＝cosx， ∴y ′ ＝(cos x)′ ＝－sin x. [总结] (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行 化简或变形后求导. (3)要特别注意“ 与 ln x ”“ax 与 logax ”“sin x 与 cos x ”的导数区别. 【跟踪训练】 1.求下列函数的导数： (1)y ＝2 023； 1 (2)y ＝3 ； ( 2 )x (3)y ＝4x； (4)y ＝log3x. 解：(1)因为y ＝2 023， 所以y′ ＝(2 023)′ ＝0. (3)因为y ＝4x， 所以y′ ＝4x ln 4. (4)因为y ＝log3x， 所以y′ ＝ . 题型二 导数公式的应用 【例