1.4.3 一元二次不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为(　　) A．10件　　　　　　 B．15件 C．20件　　　　　　　 D．30件 B　[由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．] 2．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为(　　) A．35　　　　　　　 B．45 C．55　　　　　　　 D．65 C　[生产x件时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3 025．所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.] 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A.100台　　　　　　　 B．120台 C．150台　　　　　　　 D．180台 C　[由条件知y－25x＝(3 000＋20x－0.1x2)－25x＝－0.1x2－5x＋3 000．若生产者不亏本，则需－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0． ∴(x＋200)(x－150)≥0. 解得x≥150或x≤－200(舍去). ∴最低产量为150台．] 4．(多空题)某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，要使这种商品日销售金额不小于500元，则t的最小值是______，最大值是______． 10　15　[日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．] 5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________． 20　[由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0.解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去).所以x≥20，即x的最小值为20.] 6．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.甲、乙两车中，哪辆车在此弯道超速行驶？ 解　由题意列出不等式 S甲＝0.1x甲＋0.01x >12， S乙＝0.05x乙＋0.005x>10. 分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，所以x甲>30，x乙>40. 经比较知乙车在此弯道超速行驶． 7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏，且每盏台灯的售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解　设每盏台灯售价x元，则x≥15， 并且日销售收入为x[30－2(x－15)]. 由题意知，当x≥15时，有 x[30－2(x－15)]>400， 解得15≤x<20. 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15，20). 8．甲厂以x kg/h的生产速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100(5x＋1－)元． (1)要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围． (2)要使生产900 kg该产品获得的利润最大，甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解　(1)由已知得200(5x＋1－)≥3 000， 整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0. 又因为1≤x≤10，所以3≤x≤10. 所以要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3, 10]. (2)设利润为y元， 则y＝·100(5x＋1－)＝9×104(5＋－) ＝9×104. 所以当x＝6时，ymax＝457 500. 故甲厂以6 kg/h的生产速度生产900 kg该产品时获