1.4.2 一元二次不等式及其解法（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} C　[由x2－x－6<0，得(x＋2)(x－3)<0， 解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}． ∴M∩N＝{x|－2<x<2}．] 2．已知a>1，则不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(　　) A．{x|x＞a} B．{x|x＜1} C．{x|1＜x＜a} D．{x|x＜1或x＞a} C　[x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－a)(x－1)<0， ∵a>1，∴不等式的解为1<x<a.] 3．(多选题)下列不等式中，解集不是∅的是(　　) A．2x2－3x＋2>0 B．x2＋4x＋4≤0 C．4－4x－x2<0 D．－2＋3x－2x2>0 ABC　[不等式－2＋3x－2x2>0可化为2x2－3x＋2<0，因为Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0，所以不等式－2＋3x－2x2>0的解集为∅.] 4．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜1或x＞3} C　[因为关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，所以不等式ax<b的解集是(1，＋∞).所以a＝b<0.所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3.所以该不等式的解集是(－1，3).] 5．设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)(x－)＜0的解集为______________． 　[因为a＜－1， 所以a(x－a)·(x－)＜0⇔(x－a)·(x－)＞0. 又a＜－1，所以＞a.所以x＞或x＜a.] 6．(多空题)若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1<x<m，x∈R}，则m＝________，t＝________． 2　2　[∵不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1<x<m，x∈R}，∴1，m是方程x2－3x＋t＝0的两根． ∴解得] 7．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0). 解　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0. 当－2<a<0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a<－2时，－1≤x≤. 综上，当－2<a<0时， 不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 8．已知2a＋1<0，关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　) A.{x|x>5a或x<－a} B．{x|－a<x<5a} C．{x|x<5a或x>－a} D．{x|5a<x<－a} C　[不等式x2－4ax－5a2>0可化为(x－5a)·(x＋a)>0.因为方程(x－5a)(x＋a)＝0的两根为x1＝5a，x2＝－a，且2a＋1<0，即a<－，所以5a<－a.所以不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．] 9．(多空题)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________，原不等式的解集为__________________． 　{x|－5＜x＜10}　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152.又a＞0，所以a＝.此时原不等式可化为x2－5x－50＜0，解得－5＜x＜10.] 10．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，解不等式ax2＋bx－1>0. 解　方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2， 由根与系数的关系， 得解得a＝－2，b＝3. ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0， 即2x2－3x＋1<0，解得<x<1. 所以不等式ax2＋bx－1>0的解集为{x<x<1}． 11．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求a，b的值． (2)解不等式ax2＋bn<(an＋b)x. 解　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根且a>0，b≥1.由一元二次方程根与系数的关系式得解得所以a＝1，b＝2. (2)由(1)知a＝1，b＝2，故原不等式可化为x2－(2＋n)x＋2n<0，即(x－2)(x－n)<0. ①当n>2时，原