5.1.1 变化率问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5．1　导数的概念及其意义 5．1．1　变化率问题 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 某一时刻 极限 答案：C 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课程标准 核心素养 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2．体会极限思想． 1．数学抽象：通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习． 2．数学运算：体会极限思想，会求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度． 一、瞬时速度 1．瞬时速度的定义：物体在________的速度称为瞬时速度． 2．一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为 eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt) ．如果Δt无限趋近于0时， eq \f(Δs,Δt) 无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时， eq \f(Δs,Δt) 的____是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(s（t0＋Δt）－s（t0）,Δt) ． [提醒] Δt可正，可负，但不能为0． 二、抛物线的切线的斜率 1．切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． 2．切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0) 处的切线的斜率为k0＝______________________________． 3．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0． [提醒] 极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) － eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0＋Δt)>h(t0)．(　　) (2)瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt](Δt>0)上变化快慢的物理量．(　　) (3)曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置．(　　) (4)若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是3． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析： eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(s（2＋Δt）－s（2）,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) (Δt＋6)＝6． 3．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：因为 eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(－（t＋Δt）2＋2（t＋Δt）－（－t2＋2t）,Δt) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) (－2t＋2－Δt)＝－2t＋2， 所以当t＝0时，其速度为2． 答案：D 4．抛物线y＝x2＋4在点(1，5)处的切线的斜率为________． 解析：k＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) eq \f(（1＋Δx）2＋4－5,Δx) ＝ eq \o(lim,\s\do20(Δt→0)) (Δx＋2)＝2． 答案：2 eq \a\vs4\al(题型一　平均速度) 【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈[0， eq \f(π,2) ]． (1)分别求s(t)在区间[0， eq \f(π,4) ]和[ eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) ]上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解：(1)物体在区间[0， eq \f(π,4) ]上的平均速度为 eq \o(v,\s\up6(－)) 1＝ eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1) ＝ eq