5.2.1 基本初等函数的导数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5．2　导数的运算 5．2．1　基本初等函数的导数 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 0 1 2x 0 cos x －sin x ax ln a ex 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课程标准 核心素养 1．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ eq \f(1,x) ，y＝ eq \r(x) 的导数． 2．会使用导数公式表． 数学运算：能根据导数定义求函数的导数，会使用基本初等函数的导数公式进行求导． 一、几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__ f(x)＝x f′(x)＝__ f(x)＝x2 f′(x)＝____ f(x)＝ eq \f(1,x) f′(x)＝－ eq \f(1,x2) f(x)＝ eq \r(x) f′(x)＝ eq \f(1,2\r(x)) 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝__________ f(x)＝sin x f′(x)＝_________ f(x)＝cos x f′(x)＝___________ f(x)＝ax f′(x)＝__________(a>0) f(x)＝ex f′(x)＝____ αxα－1 原函数 导函数 f(x)＝logax f′(x)＝_______(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝____ eq \f(1,x ln a) eq \f(1,x) [提醒] 对于根式f(x)＝ eq \r(n,xm) ，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若y＝ eq \r(2) ，则y′＝ eq \f(1,2) ×2＝1．(　　) (2)若f(x)＝ eq \f(1,x3) ，则f′(x)＝－ eq \f(3,x4) ．(　　) (3)若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xlog5e．(　　) (4)已知f(x)＝x2，则f′(3)＝6(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列选项正确的是(　　 ) A．y＝ln 2，则y′＝ eq \f(1,2) B．y＝ eq \f(1,x2) ，则y′|x＝3＝－ eq \f(2,27) C．y＝2x，则y′＝2x ln 2 D．y＝log2x，则y′＝ eq \f(1,x ln 2) 解析：对于A，y′＝0，故A错； 对于B，∵y′＝－ eq \f(2,x3) ，∴y′|x＝3＝－ eq \f(2,27) ，故B正确； 显然C，D正确． 答案：BCD 3．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　 ) A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 解析： s′＝－sin t，当t＝1时，s′ eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t＝1＝－sin 1)) ，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1． 答案：B 4．曲线y＝ eq \f(9,x) 在点M(3，3)处的切线方程是____________． 解析：∵y′＝－ eq \f(9,x2) ，∴y′|x＝3＝－1，∴在点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0． 答案：x＋y－6＝0 题型一 基本初等函数的求导公式 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； (2)y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ； (3)y＝lg x； (4)y＝ eq \f(x2,\r(x)) ； (5)y＝2cos2 eq \f(x,2) －1． 解：(1)y′＝0． (2)y′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ln eq \f(1,3) ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ln 3． (3)y′＝ eq \f(1,x ln 10) ． (5)∵y＝2cos2 eq \f(x,2) －1＝cosx， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x． [总结]　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后