4.1 第2课时 数列的递推公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4.1　数列的概念 4．1 第2课时　数列的递推公式 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 一个式子 a1＋a2＋…＋an 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：B 一、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [提醒] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式． 二、数列的前n项和Sn与an的关系 1．数列的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝___________________． 2．an与Sn的关系 an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (2)所有数列都有递推公式．(　　) (3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 答案：D 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　 ) A．36 B．35 C．34 D．33 解析：a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1， a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33. ∴a2＋a18＝34. 答案：C 4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 023的值为(　　 ) A．2 B．1 C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4) 解析： an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2， 由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝ eq \f(1,2) ， 由a4＝1，a5＝ eq \f(1,2) ，得a6＝ eq \f(1,2) ， 由a5＝ eq \f(1,2) ，a6＝ eq \f(1,2) ，得a7＝1， 由a6＝ eq \f(1,2) ，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 所以a2 023＝a337×6＋1＝a1＝1. 答案：B 题型一 由递推公式求数列的指定项 【例1】 已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) 给出，试写出这个数列的前5项． 解：∵a1＝1，an＋1＝ eq \f(2an,an＋2) ， ∴a2＝ eq \f(2a1,a1＋2) ＝ eq \f(2,3) ， a3＝ eq \f(2a2,a2＋2) ＝ eq \f(2×\f(2,3),\f(2,3)＋2) ＝ eq \f(1,2) ， a4＝ eq \f(2a3,a3＋2) ＝ eq \f(2×\f(1,2),\f(1,2)＋2) ＝ eq \f(2,5) ， a5＝ eq \f(2a4,a4＋2) ＝ eq \f(2×\f(2,5),\f(2,5)＋2) ＝ eq \f(1,3) . 故该数列的前5项为1， eq \f(2,3) ， eq \f(1,2) ， eq \f(2,5) ， eq \f(1,3) . [总结]　由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区． 【跟踪训练】 1.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝ eq \f(an,an＋1) 构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． 解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝