4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．3　等比数列 4．3．2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 qnSm S3n－S2n 答案：B 答案：C 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：C 答案：C 课程标准 核心素养 1．熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 1．数学运算：能应用等比数列前n项和公式的性质解题． 2．逻辑推理：理解等比数列的前n项和的性质． 一、等比数列前n项和公式的灵活应用 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中， eq \f(S偶,S奇) ＝q； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝ eq \f(a1＋a2n＋1q,1－（－q）) ＝ eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q) (q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 二、等比数列中的片段和问题 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_________(n，m∈N*)． 2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，____________仍构成等比数列． [提醒] 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n．(　　) (2)若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2．(　　) (3)若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q．(　　) (4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(　　 ) A．2n－1 B． eq \f(4n－1,3) C． eq \f(1－（－4）n,3) D． eq \f(1－（－2）n,3) 解析：由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ eq \f(1－4n,1－4) ＝ eq \f(4n－1,3) ． 3．有一种细菌和一种病毒，每个病毒在每秒钟杀死一个细菌的同时产生2个病毒，现在有1个这种病毒和200个这种细菌，问病毒将细菌全部杀死至少需要(　　 ) A．6 s B．7 s C．8 s D．9 s 解析：根据题意，每秒钟病毒杀死的细菌数成等比数列， 设需要n秒病毒可将细菌全部杀死， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200， ∴ eq \f(1－2n,1－2) ≥200， ∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8， 即至少需8 s病毒将细菌全部杀死． 4．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，S6＝9，则S6＝________． 解析：由等比数列前n项和性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则S6－S3＝3，S9－S6＝ eq \f(3,2) ，S9＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＝6＋3＋ eq \f(3,2) ＝ eq \f(21,2) ． 答案： eq \f(21,2) 题型一 等比数列前n项和公式的灵活应用 【例1】 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________． 解析：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， ∴q＝ eq \f(S偶,S奇) ＝2． 答案：2 (2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________． 解析：由 eq \f(S偶,S奇) ＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300． 答案：300 [总结]　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 eq \f(S偶,S奇) ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 【跟踪训练】 1．若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数