4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．3　等比数列 4．3．2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 A(qna－1) na1 答案：C 答案：B 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课程标准 核心素养 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．逻辑推理：掌握等比数列的前n项和推导过程． 2．数学运算：理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 一、等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1），,na1（q＝1）)) Sn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)（q≠1），,na1（q＝1）)) [提醒] 用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论． 二、利用等比数列前n项和公式判断等比数列 (1)当公比q≠1时，设A＝ eq \f(a1,q－1) ，等比数列的前n项和公式是Sn＝_____________，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝________，Sn是n的正比例函数． [提醒] 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q) ．(　　) (2)等比数列的前n项和不可以为0．(　　) (3)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．(　　) (4)在数列{an}中，an＋1＝2an, a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于31(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　 ) A． eq \f(1－xn,1－x) B． eq \f(1－xn－1,1－x) C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) 解析：当x＝1时，Sn＝n； 当x≠1且x≠0时，Sn＝ eq \f(1－xn,1－x) ． 3．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝ eq \f(1,8) ，则该数列的前10项和S10＝(　　 ) A．2－ eq \f(1,28) B．2－ eq \f(1,29) C．2－ eq \f(1,210) D．2－ eq \f(1,211) 解析：易知公比q＝ eq \f(1,2) ，则S10＝ eq \f(1－\f(1,210),1－\f(1,2)) ＝2－ eq \f(1,29) ． 4．数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________． 解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an} 为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝ eq \f(3,2) ． 答案： eq \f(3,2) 题型一 求等比数列的前n项和 【例1】 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1)若an＝2n，求S6； (2)若a1＋a3＝ eq \f(5,4) ，a4＋a6＝10，求S5； 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q． (1)∵an＝2n＝2×2n－1，∴a1＝2，q＝2． ∴S6＝ eq \f(2×（1－26）,1－2) ＝126． (2)由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝\f(5,4)，,a1q3＋a1q5＝10，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，)) 从而S5＝ eq \f(a1（1－q5）,1－q) ＝ eq \f(\f(1,4)×（1－25）,1－2) ＝ eq \f(31,4) ． [总结]　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． 【跟踪训练】 1．在14与 eq \f(7,8) 之间插入n个数，组成所有项的和为 eq \f(77,8) 的等比数列，求此数列的项数． 解：设此数列的公比为q(易知q≠1)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)＝14qn＋1，,\f(77,