4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．2　等差数列 4．2．2　等差数列的前n项和公式 第2课时　等差数列前n项和的性质 及应用 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 大 an≥0 an＋1≤0 小 an≤0 an＋1≥0 小 大 答案：A 答案：A 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 答案：C 答案：A 答案：AC 答案：C 一、等差数列{an}的前n项和Sn的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2)． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1)． 5．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)． 6．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1)(S奇≠0)． 二、等差数列前n项和的最值 1．在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最__值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(_______，,___________))确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最__值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(________，,__________))确定． 2．Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最__值；当d<0时，Sn有最__值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [提醒] (1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1； (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一． 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－eq \f(B,2A)取得．(　　) (2)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值．(　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝eq \f(1,2)(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) (4)等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为－2．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(a5,a3)＝eq \f(5,9)，则eq \f(S9,S5)＝(　　 ) A．1 B．－1 C．2 D．eq \f(1,2) 解析：由于S2n－1＝(2n－1)an， 则eq \f(S9,S5)＝eq \f(9a5,5a3)＝eq \f(9,5)×eq \f(5,9)＝1． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　 ) A．35 B．32 C．23 D．38 解析：由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207．故S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝9a1－108＝207，解得a1＝35． 4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，eq \f(S2 023,2 023)－eq \f(S2 021,2 021)＝2，则eq \f(S2 022,2 022)＝________________． 解析：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，设其公差为d．∵eq \f(S2 023,2 023)－eq \f(S2 021,2 021)＝2，∴2d＝2，d＝1．∵a1＝－2，∴e