4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第二册 第四章 数 列 4．2　等差数列 4．2．2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 答案：C 答案：C 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课程标准 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 1.逻辑推理：掌握获取等差数列的前n项和公式的思路． 2．数学运算：(1)熟练掌握等差数列中五个量a1，d，n，an，Sn的关系，并能够由其中三个求另外两个．(2)能用an与Sn的关系求an. 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝______________ Sn＝_____________________ [提醒] (1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； (2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”； (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． eq \f(n（a1＋an）,2) na1＋eq \f(n（n－1）,2)d 【基础自测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) (2)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数．(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n（am＋an＋1－m）,2).(　　) (4)已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(n,2).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　 2．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　 ) A．18 B．27 C．36 D．45 解析： S9＝eq \f(9,2)(a1＋a9)＝eq \f(9,2)(a2＋a8)＝36. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为(　　 ) A．1 B．eq \f(5,3) C．2 D．3 解析：因为S3＝eq \f(（a1＋a3）×3,2)＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝eq \f(a3－a1,2)＝2． 4．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． 解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1． 答案：－1 题型一 等差数列中与前n项和有关的基本运算 【例1】 在等差数列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n． 解：(1)法一　由已知条件得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝2a1＋13d＝58，,a4＋a9＝2a1＋11d＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4.)) ∴S10＝10a1＋eq \f(10×（10－1）,2)d＝10×3＋eq \f(10×9,2)×4＝210． 法二　由已知条件得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＋a10＝（a1＋a10）＋4d＝58，,a4＋a9＝（a1＋a10）＋2d＝50，)) ∴a1＋a10＝42， ∴S10＝eq \f(10（a1＋a10）,2)＝5×42＝210． (2)S7＝eq \f(7（a1＋a7）,2)＝7a4＝42，∴a4＝6． ∴Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝eq \f(n（a4＋an－3）,2)＝eq \f(n（6＋45）,2)＝510． ∴n＝20． [总结]　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)结合使用． 【跟踪训练】 1．在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2． 故S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)