空间向量与立体几何 专题复习讲义- 2024届高三数学一轮复习

专题复习 立体几何与空间向量 一、知识速览 二、考点速览 考点1 空间几何体的结构特征 考点2 证明三点共线和空间四点共面 考点3 空间几何体的体积 考点4 组合体的外接球和内切球 考点5 空间点、线、面位置关系 考点6 空间向量的概念及有关定理 考点7 证明三点共线和空间四点共面 考点8 两个向量的数量积及其运算 考点9 空间中的平行与垂直的向量表示 考点10 利用空间向量求空间角 考点11 利用空间向量求空间距离 二、典型题例 考点1 空间几何体的结构特征 空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 【典型例题1】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1-1】如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．B点的坐标为 D．的周长是 【跟踪训练1-2】水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 考点2 空间几何体的表面积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【典型例题2】如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ） A. B． C． D． 【跟踪训练2-1】陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是 . 考点3 空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 【典例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练3-1】（2023秋·广东珠海·高三校考阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，四棱锥的体积为 . 【跟踪训练3-2】（2023秋·浙江金华·高三阶段练习）如图，已知多面体的底面与顶面平行且均为矩形.若，，则该多面体的体积为（ ） A． B．37 C． D．47 考点4 组合体的外接球和内切球 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程