专题1.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题1.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型） 【题型1：背靠背模型】 【题型2：母子型】 【题型3：三角形—+矩形型】 【题型4：拥抱型】 【题型1：背靠背模型】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】（2023•庐阳区校级模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【变式1-1】（2023•二道区校级模拟）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为α，看这栋楼底部C处的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　） A．120（tanα+tanβ）m B．120（tanα﹣tanβ）m C．120（sinα+sinβ）m D．120（sinα+tanβ）m 【变式1-2】（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）． 【变式1-3】（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732） 【变式1-4】（2022秋•汝城县期末）2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，BD＝2km，∠ABD＝105°，求AD的长． 【变式1-5】（2023春•庐江县月考）小亮和小强同时登青阳山，小亮从北坡山脚C处出发，以12米/分钟的速度攀登，小强从南坡山脚B处出发．如图，已知青阳山北坡的坡度i＝1：2，北坡长为120米，南坡的坡角是45°．问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶A？（将山路AB，AC看成线段） 【变式1-6】（2023•安徽模拟）如图，为了测量东西走向的公路桥梁AB的长度，数学兴趣小组在公路桥南侧选定观测点C，测得A在C北偏西37°方向上，点B在C的北偏东53°方向上，若测得AC＝240米．求公路桥梁AB的长（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【题型2：母子型】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2】（2023春•常德期中）如图，某轮船在点B处，测得小岛A在B的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C处，测得小岛A在C的北偏东30°方向． （1）求AC的长度； （2）若轮船由C点继续往正东方向行驶40海里到点D处，求AD的距离（精确到1海里）．（≈2.65） 【变式2-1】（2023•嘉定区一模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【变式2-2】（2023•岳麓区校级二模）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：1