2024届高考数学一轮复习讲义：平面向量基本定理及坐标运算

课题：平面向量基本定理及坐标运算 知识点 一、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2． （2）基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量．设是非零向量同方向的单位向量，则或． 2．向量平行的充要条件：与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得 推论：的充要条件是存在实数使． 3．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对（x，y）是一一对应的，把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y． 4．平面向量的坐标运算 （1）设=，=，则=． （2）设=，=，则=． （3）设，，则． （4）设=，，则=． （5）设=，=，则（斜乘相减等于零）． （6）设=，则||=． 5．平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0．a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0． 【注1】 1．两个向量平行（共线）的充要条件: （1）如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景）． （2）如果=，=，则的充要条件是（坐标背景）． 2．三点共线的充要条件: （1）、、三点共线的充要条件是． （2）设、不共线，点、、三点共线的充要条件是． 特别地，当时，是中点． 【注2】 求解向量坐标运算问题的一般思路 1．向量问题坐标化 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． 2．巧借方程思想求坐标 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． 3．妙用待定系数法求系数 利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数． 典型例题 例1下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底（　　） A．e1＝（－2，4），e2＝（1，－2） B．e1＝（4，3），e2＝（－3，8） C．e1＝（2，3），e2＝（－2，－3） D．e1＝（3，0），e2＝（4，0） 例2向量a，b满足a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），则b为（　　） A．（－3，4）　　　　 B．（3，4） C．（3，－4）　　　　 D．（－3，－4） 例3已知a＝（4，2），b＝（－6，m），若a∥b，则m的值为（　　） A．－3　　　　 B．3 C．－12　　　　 D．12 例4已知A（－1，－1），B（m，m＋2），C（2,5）三点共线，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例5在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 例6已知，若，则的值是（ ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 例7已知点，和向量，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 例8已知向量，，则x=（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 例9已知平面向量，则向量等于（ ） A． B． C． D． 例10设向量，定义两个向量之间的运算“”为．若向量，则向量等于（ ） A．（－3，－2） B．（3，－2） C．（－2，－3） D．（－3，2） 例11如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 例12已知在中， ，，，则（       ） A． B． C． D．1 例13在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（   ） A． B． C． D． 例14已知A（－2，－3），B（2，1），C（1，4），D（－7，t），若与共线，则t＝________． 例15设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________． 例16若a＝（3,2），－2a＋4b＝（－6,0），则a－2b＝________． 例17已知向量，且，则等于 ． 举一反三 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 2．在中，为边上一点，，，则=（ ） A． B．