微专题02 数列求和的方法（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册 《第四章 数列》 微专题02 数列求和的方法 1 数列求和的常见方法 1.公式法（已知等差或等比数列或特殊数列） 2.裂项相消法 3.错位相减法 4.分组求和法 5.并项求和法 6.倒序相加法 1.公式法 使用时 注意项数 需用数学归纳法证明 知a1, d, n 知a1, an, n 知a1, q, n 知a1, an, q 例1.1设Sn为正项递增等比数列{an}的前n项和，且2a3＋2＝a2＋a4，a1a5＝16，则S6的值为_______. 1.公式法——全优4.3.2 ∵{an}为正项递增等比数列，∴q=2； (其余同上) 1.公式法——{an}是等差数列，求数列{|an|}的前n项和 5 2.裂项相消法 常见裂项公式： 2.裂项相消法 常见裂项公式： 2.裂项相消法 ①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 2.裂项相消法 放缩法 ①将分式型的通项an进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 2.裂项相消法 (法1) (法2) 2.裂项相消法 2.裂项相消法 [练习2.2]已知数列 是公比为4的等比数列，且满足a2, a4, a7成等比数列，求数列 的前n项和Tn. 3.错位相减法 齐次式 错位相消 3.错位相减法 齐次式错位相减 得等比数列求和 3.错位相减法 ③等比数列求和(注意项数) ①写Sn与qSn ②齐次式 错位相减 ④同除以1－q写出Sn 3.错位相减法【方法归纳】 (1)主要适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，如：{n·3n}、{(2n＋1)·4n}、{} (2)步骤：①写出“Sn”与“qSn”的表达式; ②两式相减，左边为(1－q)Sn，右边q的同次式错位相减； ③转化为等比数列前n项和公式求和，注意项数； ④同除以1－q写出Sn. (3)易错点：①注意错位相减后所剩的项； ②注意等比数列求和的项数是n或n-1等； ③若等比数列的公比为参数，应分q=1和q≠1两种情况. 3.错位相减法 [2021年新高考全国Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2 ，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2 ，以此类推. 则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_____；如果对折n次，那么 _______________ ． 析：对折3次共可得dm×12dm，5dm×6dm，10dm×3dm，20dm×dm四种规格的图形 对折4次共可得dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm五种规格的图形 5 对折n次共可得n+1种规格的图形 3.错位相减法 课后作业 1.数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝1，bn＋1＝an＋1－an，bn＋1＝3bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝bn·log3(2an＋1)，求数列{cn}的前n项和． 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 1.解：(1)由bn＋1＝3bn得{bn}是以3为公比的等比数列，b1＝1，∴bn＝b1qn－1＝3n－1， 所以an＋1－an＝bn＋1＝3n，即an－an－1＝3n－1(n≥2)， 2.解：(1)∵Sn＝2an－n， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，Sn＝2an－n①， Sn－1＝2an－1－n＋1②， (2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， 2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ∴两式相减得－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1， ∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1. 3.解：(1)∵数列{an}是等差数列且a1＝2，a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝3a1+6d=6＋6d＝18，解得d