4.3.2 等比数列的前n项和公式（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

选修第二册第四章《数列》 4.3.2等比数列的前n项和公式 国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求." 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。 各个格子里的麦粒数依次是： 发明者要求的麦粒总数： 等比数列 等比数列 前64项和 错位相减法 已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 故国王不能实现他的诺言。 思考: 上述方法能否推广到求一个等比数列的前n项和？ 错位相减法推导等比数列的前n项和公式 5 新知1：等比数列的前n项和公式 6 基础巩固：等比数列的前n项和公式 7 基础巩固：等比数列的前n项和公式 ▲若q未知，用等比数列前n项和公式时要考虑q是否为1. 8 升级巩固：等比数列的前n项和公式 若q未知，用公式时要考虑q是否为1 法1： 法2： 9 升级巩固：等比数列的前n项和公式 若q未知，用公式时要考虑q是否为1 10 升级巩固：等比数列的前n项和公式 11 4.等比数列首项a1>0，公比q>0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a1＝___，q＝___. 综合巩固：等比数列的前n项和公式 12 课后同步练习 练习1. 在等比数列{an}中，求满足条件的量： (1)Sn＝189，q=2，an＝96，求a1和n； (2)若 a1+a3＝10，a4+a6＝， 求a4 和S5； 13 课后同步练习 练习2.在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3=，S6=，求an . 14 课后同步练习 练习3.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n－1，求该数列的奇数项的前n项和. 15 课后同步练习 练习4.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________． 16 练习5. 课后同步练习 17 等比数列 前n项和的性质 探究1：等比数列的前n项和的性质 19 新知2：等比数列的前n项和的性质 qn的系数和常数项互为相反数 ﹣1 ﹣2 20 探究2：等比数列的前n项和的性质 课本P37-例9.已知等比数列{an}的公比q≠-1， 前n项和为Sn， 证明：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k 成等比数列，并求这个数列的公比. 21 新知2：等比数列的前n项和的性质 22 新知2：等比数列的前n项和的性质 23 新知2：等比数列的前n项和的性质 24 练习4. A. 一定是等差数列. B. 或者是等差数列，或者是等比数列. C. 一定是等比数列. D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列. 课后同步练习 练习6. 课后同步练习 练习5. 26 课后同步练习 练习7. 27 等比数列 前n项和的应用 课本P38-例10.如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点作E,F,G,H，第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的面积之和将趋近于多少？ 课本P38/39-例11.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理。预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨。为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析：每年生活垃圾的总量构成等比数列，公比为1+5%； 每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，公差为1.5； 从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨。 方法归纳：解数列应用题 (1)认真审题，明确问题是等差数列问题？还是等比数列问题？还是含有递推公式的数列问题？是求an，还是求Sn？ ①特别要注意项数是多少． ②细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题． (2)抓住数量关系，