第一章 1.2 空间向量基本定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 　 第1章　空间向量与立体几何 学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用．　 2.掌握空间向量的正交分解．　 3.会用基底表示空间向量．　 4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 随堂演练 知识点　空间向量基本定理 综合应用 课时精练 内 容 索 引 知识点　空间向量基本定理 索引 请回答以下问题： 1．如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p能否用i，j，k表示呢？ 问题导思 2．你能证明唯一性吗？ 提示：假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________． 2．基底 (1)定义：如果三个向量a，b，c________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做________． (2)性质：空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底． 新知形成 p＝xa＋yb＋zc 不共面 基底 基向量 不共面 3．正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为___，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_______________．像这样，把一个空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 两两垂直 1 a＝xi＋yj＋zk 两两垂直 (1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． 微提醒 例1-1 所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， 因为e1，e2，e3不共面， 例1-2 连接A′N(图略)． 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点， 变式探究 1．基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 方法技巧 2．用基底表示向量时的注意点 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行表示． (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 方法技巧 即时练1.若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？ (2)若 ＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 索引 综　合　应　用 索引 应用一　证明平行、共面问题 　　　如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； 例2 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)平面EFG∥平面AB′C. 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，AC⊂平面AB′C，EG⊄平面AB′C，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 证明平行、共面问题的思路 1．利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． 2．利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．　　 方法技巧 即时练3.如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1. 求证：A，E，C1，F四点共面． 应用二　计算夹