第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 　 第 一 章 1.4　空间向量的应用 学习目标 1.能用向量语言表述直线和平面．　 2.理解直线的方向向量与平面的法向量．　 3.会求直线的方向向量与平面的法向量．　 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．　 5.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 知识点二　空间向量的线性运算 知识点三　空间中直线、平面的平行 知识点一　空间向量的有关概念 随堂演练 综合应用 课时精练 内 容 索 引 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 索引 请回答以下问题： 1．在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题导思 2．空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l? ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量． 新知形成 2．空间直线的向量表示式 (1)设a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使______________，① 将 ＝a代入①式，得_______________，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量______确定． 唯一 3．空间平面的向量表示式 (1)取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使______________________．③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量______确定． 唯一 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 微提醒 　　　(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝ A．0 B．1 C． D．3 例1 √ (2)在如图所示的坐标系中，ABCD -A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为__________，直线BC1的一个方向向量为__________ ____________． (0，0，1) (0，1，1) (答案不唯一) 理解直线方向向量的概念 1．直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． 2．直线的方向向量不唯一．　　 方法技巧 即时练1.(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的方向向量是 A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 因为M，N在直线l上，且 ＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量．故选AB. √ √ 即时练2.已知点P是过点A(0，1，1)且方向向量为v＝(1，0，0)的直线上的一点，若 ＝3，则点P的坐标是____________________． (－3，1，1)或(3，1，1) 索引 知识点二　平面的法向量 索引 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 提示：下边线所在直线的方向向量与地面的法向量垂直． 问题导思 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a· ＝0}． 新知形成 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行． 微提醒 　　　如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 例2 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 1．(变设问)若本例条件不变，求平面PAD的一个法向量． 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB. 底面ABCD为矩形，所以AB