第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的垂直 　 第 一 章 1.4　空间向量的应用 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系． 随堂演练 知识点二　直线与平面垂直 知识点一　直线和直线垂直 综合应用 知识点三　平面与平面垂直 课时精练 内 容 索 引 知识点一　直线和直线垂直 索引 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直． 问题导思 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 新知形成 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 微提醒 　　　(2021·全国甲卷节选)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1. 证明：BF⊥DE. 例1 B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)， 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．　　 方法技巧 即时练1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． 求证：EF⊥DC. 以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)， 索引 知识点二　直线与平面垂直 索引 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α 时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行(共线)． 问题导思 　　设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 新知形成 (1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (2)证明线面垂直的方法： ①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． ③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 微提醒 　　　如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. 例2 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)， 取x＝1，则y＝1，z＝－1， (变结论)若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1. A1(2，0，2)，C(0，2，0)， 变式探究 又因为AB1∩D1B1＝B1，所以A1C⊥平面AD1B1. 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 法一：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量． (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．　　 方法技巧 即时练2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB. 以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设DA＝1，E(a，0，0)，其中a＞0， 所以EF⊥PB，EF⊥AB. 又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B， 所以EF⊥平面PAB. 索引 知识点三　平面与平面垂直 索引 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直． 问题导思 　　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 新知形成 　　　在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 例3 所以OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，所以OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD. 法二：设平面BDE的法向量为n1