6.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2　离散型随机变量的方差 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 1.在学习离散型随机变量方差过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解离散型随机变量方差的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 1．定义： 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记作σX. 2．意义： 随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(×) (2)若a是常数，则Da＝0.(√) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度．(√) 2．下列说法正确的是(　　) A．离散型随机变量ξ的均值Eξ反映了ξ取值的概率的平均值 B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的均值Eξ反映了ξ取值的波动水平 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的波动水平 D　[由方差的意义知选项D正确．] 3．已知随机变量X，DX＝，则X的标准差为________． 　[X的标准差＝＝.] 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1>DX2，则自动包装机____________的质量较好． 乙　[因为EX1＝EX2，DX1>DX2，故乙包装机的质量更稳定．] 5．随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P x y z 其中x，y，z成等差数列，若EX＝，则DX的值是________． 　[EX＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝， 又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z， 所以x＝，y＝，z＝0. 故DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×0＝.] 探究一　求离散型随机变量的方差、标准差 [知能解读]　对方差、标准差概念的几点说明 1．随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． 2．随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散程度． 3．DX越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． 4．标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设编号与座位相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ. 解　ξ的所有可能取值为0，1，3. ξ＝0表示三名学生全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三名学生只有1名学生坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三名学生全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P 则Eξ＝0×＋1×＋3×＝1； Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. [方法总结]　求离散型随机变量X的方差的一般步骤 [训练1]　已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P 求η的方差及标准差． 解　Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16. Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， 故＝8. [训练2]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分开，每次随机检测1件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率． (2)已知每检测1件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值和方差． 解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则 P(A)＝＝. (2)X的可能取值为200，300，400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列为 X