5.3 组合 （Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　组合问题 3．1　组合 3．2　组合数及其性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解组合的概念，能正确写出一些简单问题的所有组合． 2．会用组合数公式进行求值和证明． 1.在学习组合概念的过程中提升数学抽象、数学建模的核心素养． 2．在运用组合数公式解题的过程中增强数学抽象、数学运算的核心素养． 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． 1．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C． 2．组合数公式 (1)C＝＝ ＝.其中n，m∈N＋，并且m≤n. (2)规定：C＝1. 3．组合数的性质 C＝C，C＝C＋C. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√) (2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.(√) (3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．(×) (4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法.(√) (5)现将4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．(×) 2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________． 3　[同距离两地票价相同，甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，因此该问题为组合问题，不同票价的种数为3.] 3．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 6　[两个数的乘积与顺序无关，所以是组合问题，从四个数中任取两个数相乘的积是15，21，33，35，55，77，共6个．] 4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次． 15　[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．] [知能解读]　对组合概念的理解 1．组合的特点：组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性：元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求． 3．相同的组合：根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合． 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)规定10人相互通1次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环的方式进行比赛(每2队比赛1场)，共进行多少场次？ (3)10支球队以单循环的方式进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？ (5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解　(1)是组合问题，因为甲与乙通了1次电话，也就是乙与甲通了1次电话，没有顺序的区别．组合数为C＝45. (2)是组合问题，因为每两个队比赛1次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．组合数为C＝45. (3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别．排列数为A＝90. (4)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的科代表是有顺序区别的．排列数为A＝720. [方法总结] 1．判断具体问题是组合或排列问题的流程 2．区分有无顺序的方法 把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． [训练1]　判断下列问题是组合问题还是排列问题，并求出相应的组合数或排列数． (1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (2)8人相互发1封电子邮件，共写了多少封邮件？ (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 解　(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，组合数为C＝35. (2)因为发件人与收件人有顺序区别，所以问题与顺序有关，是排列问题，排列数为A＝56. (3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，排列数为A＝12；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题，组合数为C＝6. 已知A，B，C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 解　方法一　可按AB→AC→AD→BC→