5.2.1 排列与排列数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　排列问题 2．1　排列与排列数 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式并能解决简单问题． 在学习排列和运用排列解决简单问题的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A． 把有关求排列的个数的问题叫作排列问题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)1，2，3与3，2，1为同一排列．(×) (2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√) (3)从1，2，3，4中任选2个元素，就组成一个排列．(×) 2．由1，2，3，4，5，6组成的三位数中能被3整除的有(　　) A．12个 B．36个 C．48个 D．72个 C　[分成8类：1，2，3；2，3，4；1，2，6；2，4，6；1，3，5；1，5，6；3，4，5；4，5，6.每一类有6个数满足条件，故共8×6＝48个．] 3．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10名学生中抽2名学生开会； ②从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ③从数字5，6，7，8中任取2个不同的数进行幂的运算． A．① B．② C．③ D．②③ C　[①中无顺序．②中5人组成篮球队无顺序．③中幂分底数和指数，存在顺序．] 4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 C　[所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，C－B－A，共6种．] 1．排列定义的两个要素 一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．排列的特征——顺序性 每一个排列不仅与选取的元素有关，还与元素的排列顺序有关．选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同的排列都是不同的排列，同时满足元素完全相同且元素的顺序完全一样的两个排列才是相同的排列． 判断下列问题是否为排列问题： (1)选2个小组分别去植树和种菜； (2)选2个小组种菜； (3)选10人组成一个学习小组； (4)从1，2，3，4，5中任取两个数相除； (5)10个车站，站与站间的车票． 解　(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题． (2)(3)不存在顺序问题，不是排列问题． (4)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题． (5)车票使用时有起点和终点之分，是有顺序的，是排列问题． [方法总结]　判断一个具体问题是否为排列问题的方法 [训练1]　判断下列问题是否为排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各1名，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少不同的对数值？ (3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (4)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个方程为＋＝1的焦点在x轴上的椭圆？ 解　(1)是．选出的2人，分别担任正、副班长，与顺序有关． (2)是．对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关． (3)是．点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系，与顺序有关． (4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必有a>b，a，b的大小一定． 写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？请写出这些两位数． (2)若直线Ax＋By＝0的系数A，B从2，3，5，7中取不同的数值，则可以构成多少条不同的直线？写出这些直线的方程． 解　(1)画树状图如下： 故所有两位数为：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43.共12个． (2)画树状图如下： 故所有直线的方程为：2x＋3y＝0，2x＋5y＝0，2x＋7y＝0，3x＋2y＝0，3x＋5y＝0，3x＋7y＝0，5x＋2y＝0，5x＋3y＝0，5x＋7y＝0，7x＋2y＝0，7x＋3y＝0，7x＋5y＝0，共12条． [方法总结]　解决排列问题的技巧 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法，它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体列出各种情况，避免排列的重复和遗漏． [训练2]　从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数