3.5 数学探究活动(一)：正方体截面探究（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§5　数学探究活动(一)：正方体截面探究 [目的]　结合正方体截面设计的问题，完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验． [情境]　用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？提出逐渐深入的系列问题，进行逐渐深刻的思考． [实例分析] 用一个平面去截正方体，能否截出直角三角形呢？ 结论：不能． [分析]　用一个平面去截正方体，如果三角形截面的三边在正方体共顶点的三个面上，那么三个顶点在正方体的三条棱上，如下图中的△ABC.因为△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2＋AD2＝AB2.又BC＞BD，AC＞AD，所以BC2＋AC2＞AB2，即△ABC不是直角三角形． 因为上述△ABC是任意截得的三角形截面，所以用一个平面去截正方体，不能截出直角三角形． [尝试探究] 用一个平面去截正方体，并在正方体中画出所有可能的截面示意图． (1)如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形(分别按边、角分类)？为什么？ (2)指出最大面积的三角形截面，并说明理由． (3)你认为可以截出几类不同的四边形？为什么？ (4)能否截出正五边形？为什么？ (5)是否存在正六边形的截面？为什么？ (6)边数最多的截面是几边形？为什么？ [探究建议] (1)成立探究小组，一起讨论研究，集思广益． (2)思路一：可以利用计算机作图软件协助探究； 思路二：直接做模型，甚至切萝卜块来探究； 思路三：在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置，不同水量时的液体表面的形状． (3)大胆猜想，小心求证． (4)梳理探究的结果，撰写一个报告． [思考交流] 发现和提出在截正方体时的其他有意义的问题，并研究解决． [素养提升]　圆柱体截面问题 [目的]　体现直观想象素养的表现和水平，体会满意原则和加分原则． [情境]　在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水． (1)将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可能呈现出的所有几何形状，画出直观示意图． (2)参考右图，对上述结论给出证明． [分析]　回顾课程标准中相关内容要求：“利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．” 如果能够比较完整地回答(1)的第一个问题，可以认为达到直观想象素养水平一的要求；能比较完整地回答(1)的第二个问题，可以认为达到直观想象素养水平二的要求；能比较完整地回答(2)的问题，可以认为达到直观想象素养水平三的要求．此题也考查逻辑推理等素养．例如，下面的回答． (1)圆柱桶竖直放置时，水平面为圆面；水平放置时，水平面为矩形面；倾斜放置时，水平面为椭圆面或者部分椭圆面．可能呈现的所有类型的几何图形，如下图所示． (2)圆柱桶竖直放置时，水平面相当于平行于底面的截面，因此水平面是圆面． 圆柱桶水平放置时，水平面与圆柱侧面的两条交线是圆柱的母线，它们平行且相等，且垂直于水平面与圆柱底面的两条交线，所以水平面是矩形面． 圆柱桶倾斜放置时，水平面相当于用平面斜截圆柱时所得到的截面．如图所示，上下两球与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点(即斜截面与圆柱侧面交线上一点).设过点P的圆柱的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线． 由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即点P到F和F′距离之和为定值，所以这时的截面是椭圆面． 学科网（北京）股份有限公司 $$