6.3.2 离散型随机变量的方差（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2　离散型随机变量的方差 1．已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P 有下列式子：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝. 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[由分布列可知，EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，故②不正确；③显然正确．] 2．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表，则射击比较稳定的运动员是(　　) 环数k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B．乙 C．甲、乙一样稳定 D．无法比较 B　[由题中分布列可得Eξ＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2，Eη＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，Dξ＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，Dη＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56.因为Eξ＝Eη，Dξ＞Dη， 所以甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．] 3．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差Dξ的最大值为(　　) ξ 0 1 2 P y 0.4 x A.0.72 B．0.6 C．0.24 D．0.48 B　[由题意知y＝0.6－x. 因为Eξ＝0.4＋2x，Eξ2＝0.4＋4x， 所以Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24＝－4(x－0.3)2＋0.6. 当x＝0.3时，(Dξ)max＝0.6.] 4．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，Eξ＝1，则Dξ＝________． 　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得 所以Dξ＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.] 5．某事件A发生的概率为p(0<p<1)，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为________． 　[由于事件A发生的概率为p(0<p<1)，则事件A在一次试验中发生的次数X的均值为p，方差为p(1－p)＝p－p2＝－(p－)2＋.故方差的最大值为.] 6．(多空题)甲、乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)，记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的均值EX＝________，方差DX＝________． 　　[X的可能取值为0，1，2，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列如下表： X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝， DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.] 7．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合． (1)求巧合数ξ的分布列． (2)求巧合数ξ的均值与方差． 解　(1)ξ的可能取值为0，1，2，3，5，则 P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝＝， P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝＝， P(ξ＝5)＝. 故ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 5 P (2)Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1， Dξ＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1. 8．某随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 0.1 a 0.3 0.4 则方差DX＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[根据所给分布列，可得 a＋0.1＋0.3＋0.4＝1. 所以a＝0.2. 故随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 EX＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，DX＝0.1×(0－2)2＋0.2×(1－2)2＋0.3×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝1.] 9．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知EX＝，DX＝，则x1＋x2的值为________． 3　[因为EX＝x1＋x2＝， 所以x2＝4－2x1，DX＝(x1－)2×＋(x2－)2×＝. 因为x1＜x2，所以所以x1＋x2＝3.] 10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于3