5.3 组合 （Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　组合问题 3．1　组合 3．2　组合数及其性质 1．若A＝12C，则n等于(　　) A．8 B．5或6 C．3或4 D．4 A　[A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1).又n∈N＋，且n≥3，所以n＝8.] 2．设A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e，f}，集合M满足AMB，这样的集合有(　　) A．12个 B．14个 C．13个 D．无数个 B　[由已知，集合M至少含3个元素，最多含5个元素，则共有C＋C＋C＝14个．] 3．满足方程Cx2－x16＝C的x值为(　　) A．1，3，5，－7 B．1，3 C．1，3，5 D．3，5 B　[依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16.解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3.经检验，只有x＝1或x＝3符合题意．] 4．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．A×A种 D．C×C种 D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有C×C种不同的选法．] 5．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为(　　) A．70 B．64 C．58 D．52 C　[正方体中四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C－12＝58.] 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 　[从5人中选出2人的所有情况有C＝10种，其中恰好选中2名女生的情况有C＝3种，故所求概率为.] 7．(多空题)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；若是有向线段，则共有________条． 10　20　[从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10条．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序的不同对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．] 8．不等式C－n<5的解集为________． {2，3，4}　[由C－n<5，得－n<5. 所以n2－3n－10<0.解得－2<n<5. 由已知有n≥2，且n∈N＋，所以n＝2，3，4. 故原不等式的解集为{2，3，4}．] 9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并说明理由： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)从9名学生中选出4名参加联欢会，有多少种不同的选法？ 解　(1)是组合问题，由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关． (2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序． 10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A.70种 B．80种 C．100种 D．140种 A　[方法一(直接法)　选1男2女，有C×C＝5×6＝30种方案；选2男1女，有C×C＝10×4＝40种方案．因此共有70种方案． 方法二(间接法)　从9人中任意选取3人，有C＝84种方案，其中都是男医生的有C＝10种方案，都是女医生的有C＝4种方案．因此符合条件的有84－10－4＝70种方案．] 11．已知C∶C∶C＝3∶4∶5，那么n－m＝________． 35　[由题意知 由组合数公式得解得 所以n－m＝62－27＝35.] 12．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为________． 6　[因为1≤m<n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C.其中C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，所以方程x2＋Cy2＝1能表示的不同椭圆有6个．] 13．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 660　[由题意可知，只选1名女生的方法有C×C×C×C＝480种，选2名女生的方法有C×C×C＝180种，所以共有480＋180＝660种不同的选法．] 14．(1)解方程：C＋C＝A； (2)解不等式：－<. 解　(1)