5.2.1 排列与排列数（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　排列问题 2．1　排列与排列数 1．有下列问题： ①从2，3，5，7，11中任取两数相乘，可得多少不同的积？ ②20名同学互相握手一次，共握手多少次？ ③以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？ 其中是排列问题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A　[①任取两数相乘，其结果与顺序无关，所以不是排列问题；②只是任意选两名同学握手，且互相握手一次，无顺序，不是排列问题；③圆上任意两点就可确定一条弦，与顺序无关，也不是排列问题．] 2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 B　[列树形图如下： 故共有4种排列方法．] 3．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，则不同的送法种数为(　　) A．5 B．10 C．20 D．60 C　[从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，是排列问题，分两步完成：第一步，送给第一名同学，有5种送法；第二步，送给第二名同学，有4种送法．根据分步乘法计数原理，不同送法共有5×4＝20种．] 4．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁四名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少一人，其中甲、乙被分配到同一展台的不同分法的种数为(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 D　[因为甲、乙被分配到同一展台，所以将甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6种分法．所以甲、乙被分配到同一展台的不同分法的种数为6.] 5．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列． 12　[画出树状图如下： 由上图可知，共有12个以b为首的不同的排列，分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.] 6．车展期间，某调研机构准备从5人中选出3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________. 60　[由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60种．] 7．在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4 的排列个数是________． 5　[首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图如下： 再按a3位置的数比a2，a4位置的数大进行排除，从而得出排列：2143，3142，3241，4132，4231，共5个．] 8．(1)求出由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 解　(1)首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数，用树形图表示如下： 由此可知满足条件的四位数共有12个． (2)由题意作“树形图”如下： 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 9．甲、乙、丙、丁四个民航站之间均有直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？将它们列举出来． 解　先确定起点，有4种方法；再确定终点，有3种方法．根据分步乘法计数原理，共需要4×3＝12种不同的机票．列举如下： 10．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．80个 B．40个 C．20个 D．10个 C　[十位数只能是3，4，5.当十位数为3时，共有2个：132，231；当十位数是4时，共有6个：142，143，241，243，341，342；当十位数是5时，共有12个：152，153，154，251，253，254，351，352，354，451，452，453.故共有2＋6＋12＝20个．] 11．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 B　[按照甲的位置分两类：第一类，甲排最左端，余下的第二个位置有5种方法，第三个位置有4种方法，第四个位置有3种方法，第五个位置有2种方法，最右端位置有1种方法，所以第一类有5×4×3×2×1＝120种不同的排法；第二类，甲不在最左端，又因为最左端只能排甲或乙，所以最左端排乙，最右端排其余的四个人中的一个，有4种方法，余下的第二个位置有4种方法，