第二章 素养拓展课(二) 简谐运动及其图像 单摆（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中物理选择性必修第一册（教科版2019）

素养拓展课(二)　简谐运动及其图像　单摆

1．周期性

做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以简谐运动具有周期性，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性．

2．对称性

简谐运动过程具有对称性，关于平衡位置对称的两位置上速度、加速度、回复力、位移、动能、势能的大小均相等，且由某点到平衡位置和由平衡位置到该点或对称点的时间相等，由某点到最大位移处和由最大位移处回到该点的时间相等．

如图所示，一个质点在a、b间做简谐运动，O点为平衡位置，先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s．质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，在这3 s内，质点通过的总路程为18 cm.则质点振动的周期和振幅分别是多少？

解析　由于质点先后以相同的速度依次通过A和B两点，历时2 s，因此A和B两点关于平衡位置对称，A→O和O→B所用时间都为1 s.质点通过B点后再经过1 s第二次通过B点，同样由对称性知B→b所用时间为0.5 s，则＝1.5 s，所以周期T＝6 s．在题中所述的3 s内，质点通过的总路程等于从a到b的距离，则2A＝18 cm，即A＝9 cm.

答案　6 s　9 cm

 [训练1]　一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，已知振子从平衡位置第一次运动到x＝处所用的最短时间为t1，从正向最大位移处第一次运动到x＝处所用的时间为t2.下列关于t1与t2的大小关系正确的是(　　)

A．t1＝t2　　　　　　　　 B．t1＜t2

C．t1＞t2     D．t1＝2t2

B　[根据“振子远离平衡位置时速度减小，靠近平衡位置时速度增大”可知振子从平衡位置第一次以最短时间运动到x＝A处的平均速度大于从正向最大位移处第一次运动到x＝

A处的平均速度，而路程相等，则t1＜t2，故A、C、D错误，B正确．]

1．从振动图像中可得到的信息

(1)可直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小．

(2)可直接读出振幅，即正(或负)向位移的最大值．

(3)可直接读出周期．

(4)可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小变化趋势．

2．简谐运动图像与力学知识结合可以解决运动和力的问题．

如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示．关于这个图像，下列说法正确的是(　　)

A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正

B．t＝1 s时，弹性势能最大，重力势能最小

C．t＝0.5 s时，弹性势能为零，重力势能最小

D．t＝2 s时，弹性势能最大，重力势能最小

D　[t＝1.25 s时，位移为正，由a＝－知加速度为负，x­t图像上某点切线的斜率表示速度，故速度为负，A错误．t＝1 s时，振子在最高点，重力势能最大，B 错误．t＝0.5 s时，振子在平衡位置处，弹簧的形变量为，所以弹性势能不为零，C错误．t＝2 s时，振子在最低点，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，而重力势能最小，故D正确．]

[训练2]　下图为甲、乙两等质量的质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙的振幅分别为2 m和1 m

B．甲振动的频率比乙的高

C．2～3 s内，甲、乙的加速度方向均沿负方向

D．t＝2 s时，甲的加速度和乙的速度都达到各自的最大值

B　[通过图像可得T甲＝4 s，A甲＝2 cm，T乙＝8 s，A乙＝1 cm，则f甲＝＝0.25 Hz，

f乙＝＝0.125 Hz，故选项A错误，选项B正确；在2～3 s内甲的位移为负，加速度方向沿正方向，C错误；t＝2 s时，甲在平衡位置，速度最大，而乙在正向最大位移处，加速度达到最大值，D错误．]

1．类单摆模型

如图所示，为竖直面内的光滑圆弧轨道，且≪R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R.则T＝2π中，l为等效摆长，g为等效重力加速度．

2．等效重力加速度

(1)对于不同星球表面，则g＝.(M、r分别为星球的质量与半径)

(2)单摆处于超重或失重状态时，则g＝g0±a.

(3)等效重力加速度的实质是摆球在平衡位置不摆动时绳子的拉力(沿圆弧半径方向指向圆心的力)产生的加速度．

有人利用安装在热气球载人舱内的单摆来确定气球的高度．已知该单摆在海平面处的周期是T0，当热气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.(把地球看成质量均匀分布的半径为R的球体)

解析　根据单摆的周期公式可知

T0＝2π①

T＝2π②

其中l是单摆长度，g0和g分别是两位置的重力加速度．

根据万有引力定律得

g0＝G③

g＝G④

其中G是引力常量，M是地球质量．

由①②③④式解得h＝(－1)R.