第六章 4.1 二项分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　二项分布与超几何分布 4.1　二项分布 [学习目标]　1.通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念．　2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 知识点一　n重伯努利试验 如下四个试验：(1)抛一枚质地均匀的硬币5次；(2)某位同学进行射击游戏，总共射击10次，每次射中的概率为0.7；(3)小明同学罚球的命中率为0.6，总共罚球4次；(4)口袋有5个白球，4个黑球，有放回得抽4次． 这四个试验有什么共同特点？ 提示：(1)在同一种情况下进行的试验；(2)每次试验是相互独立的；(3)每次的试验结果要么发生要么不发生；(4)每次的试验发生和不发生的概率都相等． n重伯努利试验：一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． [微提醒]　n重伯努利试验的特征： (1)每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变．(2)各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的． 判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； 解析：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； 解析：(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解析：(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验． 　　方法技巧 判断某试验是否是n重伯努利试验的依据 1．在相同的条件下可以重复进行； 2．每次试验相互独立、互不影响． 即时练1.下列事件是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 D　换换换[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．故选D．] 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； 解析：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P()＝1－()3＝. (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率； 解析：(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C()2•(1－)0＝，P(B2)＝C()1×(1－)1＝.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. 学生用书第163页 (3)求两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率． 解析：(3)记“甲射击2次，击中目标1次”为事件A3，“乙射击2次，击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C()1(1－)1＝，P(B3)＝C()1×(1－)1＝，所以两人各射击2次，甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝. [变式探究] 1．(变设问)求两人各射击2次，甲未击中目标、乙击中目标2次的概率． 解析：记“甲射击2次，未击中目标”为事件A4，“乙射击2次，击中目标2次”为事件B4，则P(A4)＝C()0(1－)2＝，P(B4)＝C()2×(1－)0＝，所以两人各射击2次，甲未击中目标、乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝×＝. 2．(变条件，变设问)假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：甲恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？ 解析：甲恰好射击5次，被终止射击，说明甲第4，5次未击中目标，第3次击中目标，第1，2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝[1－(1－)2]××(1－)2＝. 　　方法技巧 1．n重伯努利试验概率求法的步骤 2．“至多”“至少”问题往往考虑逆向思维法，利用对立事件求解． 知识点二　二项分布 为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉． 如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？ 提示：C0.91(1－0.9)2＋C0.92(1