第六章 3.2 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．　3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差． 知识点　离散型随机变量的方差 要从甲、乙两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，两名射手在同一条件下射击，所得环数分布列如下： X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 应该派哪一名同学参赛？选拔的标准是什么？ 提示：EX1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， EX2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9， 所以EX1＝EX2， 又DX1＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4，DX2＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8，所以DX1＜DX2， 因为甲、乙两名射手射击环数均值相等，而乙射手射击环数方差比甲的方差大，所以甲比较稳定，应该派甲同学参赛． 1．若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX． 2．随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散． 随机变量X的概率分布为 X 0 1 m P n 且EX＝1.1，则DX＝________． 解析：由＋n＋＝1，得n＝，因为EX＝1.1， 所以0×＋1×＋m×＝1.1，得m＝2， 所以DX＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49. 答案：0.49 　　方法技巧 求离散型随机变量的方差的步骤 第一步：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 第二步：求出随机变量取各个值的概率； 第三步：列出分布列； 第四步：利用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的期望EX； 第五步：代入公式DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn求出方差DX； 第六步：代入公式σX＝求出随机变量的标准差σX.　　 即时练1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX等于(　　) A．3.36 B． C．7.8 D．3.6 A　换换换[由题知X＝6，9，12.则 P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝. 所以X的分布列为 X 6 9 12 P 所以EX＝6×＋9×＋12×＝7.8. 所以DX＝(7.8－6)2×＋(7.8－9)2×＋(7.8－12)2×＝＝3.36.故选A．] 学生用书第160页 (链接教材P202例6)已知甲，乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲、乙射击结果互不影响．记甲、乙两名射手在一次射击中击中的环数分别为ξ，η. (1)求ξ，η的分布列； 解析：(1)依题意，有0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因为乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，且每次射击击中的环数均大于6环， 所以乙击中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2， 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)从数学期望与方差两方面比较甲、乙两名射手的射击技术． 解析：(2)由(1)可得 Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于Eξ＞Eη，说明甲