第五章 1.1 1.2 分步乘法计数原理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　基本计数原理 1.1　分类加法计数原理 1.2　分步乘法计数原理 [学习目标]　1.通过实例，了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义．　2.能根据具体问题的特征，正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题． 知识点一　分类加法计数原理 2023年9月23日第19届亚运会在杭州举行，这是继第24届2022年北京冬季奥林匹克运动会后中国体坛的又一大盛事．一名志愿者从重庆赴杭州为亚运会服务，从重庆到杭州每天有6个班次的飞机，5个班次的火车，4个班次的轮船． 该志愿者从重庆到杭州的办法可以分为几类？在这几类办法中各有几种方法？该志愿者从重庆到杭州共有多少种方法？ 提示：从重庆到杭州的办法可以分为3类；其中坐飞机有6种方法，坐火车有5种方法，坐轮船有4种方法；共有6＋5＋4＝15种方法． 分类加法计数原理 定义：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称“加法原理”) [微提醒]　(1)使用分类加法计数原理的关键是分类，分类必须明确标准，要求不重不漏，不重即任何一种方法只能属于一类，不漏即任何一种方法一定在某一类中．(2)完成一件事的各类方法是相互独立的，即任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事． 在所有的两位数中， (1)求个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解析：(1)法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． (2)个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？ 解析：(2)当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个． 由分类加法计算原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 　　方法技巧 1.分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”． 2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程 学生用书第115页 即时练1.(2023•山西太原高二月考)从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为(　　) A．13 B．16 C．24 D．48 A　换换换[由题意，从甲地到乙地有三类不同的走法，所有走法数为8＋3＋2＝13.故选A．] 即时练2.某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ 解析：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法． (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解析：(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 知识点二　分步乘法计数原理 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有几种不同的选法？ 提示：分三步完成．从国画、油画、水彩画中各选1幅分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)